Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Муп = Мпуп. (1)
Действуя на первое уравнение оператором Му а на второе оператором L и вычитая один результат из другого, получим
Mbtyn = LnM$n, LMipn = LnMn%, (ML — LM) = 0. (2)
Так как любую функцию можно разложить по функциям tynJ то мы имеем
(ML-LM)<p='2lca(ML-LM)% = 0, (3)
п
т. е., применяя оператор ML — LM к любой функции, мы получаем нуль. На языке операторов это означает коммутативность операторов
ML-LM = 0. (4)
Покажем теперь, что если операторы L и М коммутируют, то они имеют общие собственные функции. Уравнение для собственных функций оператора L будет
Lfy = Lfy. (5)
Действуя на это уравнение оператором М и меняя порядок ML на LMy мы получаем
L(Ml))==l(iMi|>). (6)
Отсюда следует, что г|/^Л1г|; есть также собственная функция
оператора L, принадлежащая собственному значению L. Если
вырождение отсутствует, то значению L принадлежит лишь одна функция, а, стало быть, г|)' может отличаться от г|; лишь постоянным множителем, т. е. г|)'=М'ф. Таким образом,
Мг|)==Мг|:>, (7)
638 ДОПОЛНЕНИЯ
откуда следует, что г|) есть также собственная функция оператора М. В случае наличия вырождения может быть линейной комбинацией функций % (k—\, 2, ..., f), принадлежащих собственному значению L:
I
i|/ = A% = 2 Mkk’b.’f k=l, 2(8) к’= 1
Однако вместо функций г|з* можно взять их линейные комбинации (см. дополнение II)
f
Ф = 2 (9)
fe'=l
причем ak могут быть выбраны так, что новые функции ф будут собственными функциями оператора М:
7Йф = УИф. (10)
Подставляя сюда ср из (9) и пользуясь (8), найдем путем сравнения коэффициентов при %
f
2 Mkk-ak' = Mab, k--=\, 2, f. (11)
k’=\
Это —система однородных алгебраических уравненнй для определения коэффициентов ak. Она имеет решение лишь 6 том случае, когда ее определитель равен нулю:
= 0. (12)
Ац — М ^^12 •* • ми
А421 М22—М .. .. Mif
мп мп - м
Из этого уравнения найдем корни Mlt Мг, ..., Mf. Для каждого из этих корней (Ма) получим свое решение уравнений (11) аа1, оаз, • • •» «а/ и, следовательно, согласно (9), свою функцию ср:
1
Фа=Е°оЛ- (13
к = 1
Новые функции фа (а=1, 2, ..., /), будучи линейными ком бинациями %, будут собственными функциями оператора L, при надлежащими значению L, а вместе с тем и собственными функ циями оператора М, принадлежащими значениям M = Mlf М2, .. ..., Ма, ..., М/, соответственно.
V. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ УLm (6, сГ) 639
V. Сферические функции Ут{О, Ф)
В проблеме нахождения собственных значений оператора
момента импульса М2 мы встречаемся с уравнением для сферических функций (25.14):
1 д / . сдг|>\ . 1 д2ф , Л , Л /1ч
sin Ж ! "Ь cin2 а (О
sin б дв \ дб I ' sin - б дф2
Нам нужно найти собственные функции этого уравнения (т. е. непрерывные, однозначные и конечные решения во всей области изменения переменных 0^0^л, 0^ф^2л).
Разделим прежде всего переменные б и ф. Для этого положим
г|)=:0(0)-Ф(ф). (2)
Подстановка (2) в (1) приводит к разделению переменных, если положить
^=-™2ф- (3)
Отсюда
Фт (ф) = е'гаф- (4)
Чтобы Фт была однозначной функцией ф, необходимо, чтобы т было целым числом
tn — 0, ±1, ±2, ... (5)
Подставляя (4) в (1) и деля на Фт, получим уравнение для 0: J_4(,sin0?®')--^0 + A0 = O. (6)
sm 6 56 \ дв J sm2 о 1 4 '
Введем вместо 8 новую переменную
? = cos0, —1 | -f 1, d& = — sin6d0 (7)
и будем рассматривать 0 как функцию ?. Тогда из (6) получается
(l_|*)0'_2ge' + (x-T^)0 = O. (8)
Рассмотрим поведение решения © вблизи особых точек уравнения ?=±1. Обратимся сначала к точке = Введем переменную 2 = ^—1. Тогда из (8) получаем
0" _l iil ©' — Г —_______и -.—____10 = 0 /9)
U + 2 г + 2 Ь(г + 2) ^ г*(г + 2)*\и ^
Будем искать 0 в виде ряда по степеням г:
0 = Z^Vj V = CLq -f- CLiZ -j- CL2.Z2 ClvZx -f-. .. (10)
640 ДОПОЛНЕНИЯ
Нам нужно сперва определить степень у, с которой начинается ряд. При г->0
0 = a0zy.
Подставляя это решение в (9) и пренебрегая бесконечно малыми меньшего порядка, нежели гу_2, мы получим из (9)
[Y(Y- l) + Y-x]a°2V”2 = 0’
откуда
Y = ±J- (И)
То же значение у получается для разложения вблизи особой точки ? = —1. Чтобы решение оставалось конечным при | = ±1, нужно в (10) взять
Т(12)
т. е. для т> 0 у=™> для т< 0у--- — ™. Второе решение (И)
обращается в бесконечность. Таким образом, мы можем взять © в виде
0==(l_|*)Lr!o> (13)
где у —ряд по степеням г. Нам теперь удобнее взять v в виде ряда по
ОО
о = 2 b,\\ (14)
v = 0
Подставляя (13) в (8), получим
(1 — ?2) vn — 2 (| т | + 1) lv' + (к — | т \ — т2) v = 0. (15)
Внося сюда ряд (14) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях мы получаем рекуррентную формулу для определения коэффициентов bv:
(v + 2) (v + 1) bv+2 = [v (v — 1) + 2 (I m | + 1) v - A +1 m | + m2] bv. (16)
Если ряд (14) оборвется на каком-то члене номера v = k, то v будет многочленом k-и степени, и, следовательно, (13) будет конечным, непрерывным и однозначным решением, т. е. собственной функцией уравнения (1). Из (16) следует, что ряд может оборваться лишь в том случае, если
k (k — 1) + 2 (| т | + 1) k — Я +1 m | -fm2 = 0,
т. e.
Я = (& + | m I) (? + | m j + 1). (17)
