Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
и взятие предела (т-> оо) мы можем обозначить одним символом б (г), так что предыдущий интеграл напишем в виде
„6 (О, если а, Ь>0 или a, b<0,)
U(Z)6(2)</Z={ /m Г (2)
? 1ф(0)» если й<0, Ь>0. J
Символ б (г) часто называют б-функцией (де л ьт а-ф у и кц и я). Общее определение символа б дано в дополнении III. Переходя к доказательству эквивалентности формул (13.1), (13.3) и (13.5), (13.6) соответственно, мы рассмотрим ради сокращения выкладок случай одного измерения и докажем справедливость равенства -1-00 -f- 00
jj Ф* (Рх) р"ф (Рх) dpx = ^ 1|>* (л-) ih ij? (х) dx, (3)
где ф(Рл-) есть компонента Фурье от ty(x):
. рхх
vip')=S*(x)k^r-dx’ (4)
*) См., например, В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. II, «Наука», 1965, стр. 477.
I. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 631
а /г —целая положительная степень. Для доказательства подставим в (3) вместо ф(рЛ-) и ф* (рл) их выражения из (4). Тогда имеем
РVх' Ри*
-foo +#оо -foo — i
г,- J ip, J J Wkzk**. (5)
— 00 —oo
pxx Pxx
— i-A- / . д \n — i-J-
Вместо произведения pnxe n можно написать e n .
Тогда получаем
-fco *f CO Pxx' +00 pxx
S Ш S 5 tw (ih^jne~'~trdx. (6)
— oo —oo —oo
Проинтегрируем в последнем интеграле п раз по частям, причем будем предполагать, что гр(х) и ее производные обращаются в нуль на границах интегрирования х-=±оэ. Выполняя интегрирование, найдем
+ оо +00 рхх' + оо рх X
= ^*{x')el~dx' 5 е~‘^г{— М $ V (х) dx; (7)
— со —оо —оо
переменим теперь порядок интегрирования и будем интегрировать сначала по рх:
+ оо +СО +со Рх( х' — х)
= § !>*(*')<**' Я {-ihl)"^(x)dx § * г‘ т- (8>
— 00 —оо —со
Введем теперь переменные ? = 7*. z = x' — х. Выполняя в последнем интеграле в (8) интегрирование по ? в конечных пределах от — т до + т, а затем переходя к пределу m оо, мы можем написать (8) в виде
+ оо +00
— оо — оо
+ оо +00
= 5 [(“ ih^)n^^]dx § (*+z)6(z)dz. (8')
На основании (2) (а = — оо, b = + оо), <р (2) = (х + z) имеем
—j— со оо
^ = I [{~iHдх)" ^ У* dX = S ^ (~ 1ПSif ^ М dX• ^
632 ДОПОЛНЕНИЯ
Тем самым доказано (3). Целая рациональная функция от рх имеет вид F (рх) = 2 апр"- Имеем
П
F (Рх) = ^ а"Р* = 2 °л ^ ^ _ ~dxf ^ ^ dX =
п п
= ^V(x)F^-itl~j^(x)dx. (10)
Таким образом, эквивалентность (13.3) и (13.6) для случая одного измерения доказана. Обобщение на три измерения сводится просто к увеличению числа интегрирований и поэтому совершенно тривиально (достаточно доказать эквивалентность (13.3), (13.6) для среднего от Р"Р™Р1г, где т, п, / — целые и положительные степени).
Справедливость равенства
+ СО -J-00
*" = § V (х) хп^> (*) dx = J (р*(рх) <р(рх) dpx (11)
— ОО —00
следует из справедливости (3), если заметить, что по теореме
Фурье
| оо IРд *
Ч>(*) = \ <4')
— ОО
Взаимно заменяя в (3) г)? и ср, рх и х и меняя одновременно знак у мнимой единицы в показателе формулы (4), мы получаем из
(3) и (4) формулы (11) и (4'). Из (11) далее следует
—f- ОО
Щх) = 2^= J Ф* (Рх) F Ф (рх) dpx. (12)
п —оо
Это —частный случай (13.5) для одного измерения. Обобщение на три измерения опять-таки тривиально.
II. Собственные функции в случае вырождения
Собственные функции ipпк (k— 1, 2, /), принадлежащие
собственному значению L/lt линейно независимы, т. е. между ними не существует соотношений вида
f
= о, (1)
?=1
где ак — некоторые постоянные. Если бы такие соотношения существовали, то они означали бы, что одна или несколько функций
II. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ В СЛУЧАЕ ВЫРОЖДЕНИЯ
633
выражаются через другие, т. е. фактическое число различных собственных функций, принадлежащих L„, было бы не /, а меньше. Если функции tynk не ортогональны между собой, то мы можем ввести новые функции, получающиеся из tynk линейным преобразованием
f
ф/га “ 21 ОС = 1, 2, . . . , /. (2)
k=l
В силу линейности уравнения для собственных функций функции ф/ш будут опять-таки собственными функциями оператора L и принадлежащими собственному значению Ln.
Из условия ортогональности функций српа:
$ф*аф,,Ц<?к = 60р, (3)
следуют условия для определения коэффициентов aak:
f f
21' 2 aaka$k'skk' = бар, (4)
k=\ k' = l
где
$kk' — § tynktynk’ dx. (5)
Возможность найти коэффициенты aak, удовлетворяющие условиям (4), следует из геометрической аналогии. Будем рассматривать функции г|э/?л как единичные векторы jk в пространстве / измерений, a skk' — как скалярные произведения (jkf /V). Тогда (2) можно рассматривать как преобразование в пространстве f измерений от косоугольной системы координат к прямоугольной1).
Отсюда ясно, что преобразование (2) — не единственное: получив ортогональную систему координат, мы можем ее еще вращать любым образом.
Так, например, если функции ^nk уже ортогональны, то skk' = = §kk’> и из (4) тогда следует
f
2 = (6)
k= 1
Это и есть условия для коэффициентов ортогонального преобразования системы ортогональных функций tynk в новую систему опять-таки ортогональных функций <р,;а. Таким образом, собственные функции, принадлежащие одному собственному значению Lni определяются лишь с «точностью» до ортогонального преобразования вида (2) с коэффициентами, подчиняющимися условию (6).
