Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 99. Траектории частицы, по которым ведется интегрирование в цепи Маркова.
Интервал времени (t0, t) разделен на семь про* межутков, q — координата частицы.
Заметим, что в различии цепей квантовой (138.3) и классической (138.3') еще раз проявляется тот факт, что в квантовой механике фундаментальное значение имеют амплитуды вероятностей, а не сами вероятности. Этот факт в принципе не позволяет свести квантовую механику к какой-либо классической статистической механике.
Разумеется, что и в квантовой механике имеет смысл классическая цепь Маркова
§ 138] ФПППМАПОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 611
Лагранжа имеет вид
Цх, ?) = y (wJ~VW-
dx
Здесь m — масса частицы, х = — ее скорость. Действие 5 за
малый промежуток времени (tk, tk+1) равно
'*+1
S{xk+1, tk + ь хк, tk) = $ L(x, х) dt.
<к
Покажем теперь, что если квантовый пропагатор К для бесконечно малого промежутка времени At — tkYi — tk взять в следующем виде:
К(хм, tkn, хк, tk) = С exp {{- [f (J - V fa) j A/}, (138.4)
то волновая функция (лт, /), определяемая формулой (138.1), будет удовлетворять уравнению Шредингера
iH°A?±A = v*4> (х, t) + V (х) ^ (х, t). (138.5)
Заметим, что величина —аппроксимирует скорость частицы на отрезке времени (tk) tk+1), а С — нормирующий множитель, определяемый из условия K~$(xk+i — xk) при Д/->0. Нетрудно найти, что
с-(ыиг)‘''- <138-6>
Подставим теперь (138.4) в (138.1) и положим там q0 = x — ?,
q — q0 = x — x0 = %, t = t0-\-At. Далее
ф(*0, /о)=‘Ф(АГ —Е, /„)=!>(*. to)^ I2 + ¦ • ¦
И
ехр {- {V (х) А/} = 1 + -L V (х) А/+ ...
Выражение (138.1) теперь имеет вид
-|-оо
$(х, t0 + At) = C $ dlexp(4-^?i2)[H-i-FWA^-...]x
— оо
X [-Ф (л:, to) - 1 +1 ? + • •.] • (138.7)
612 ЗАКЛЮЧЕНИЕ [ГЛ.ХХУ
+ 00 _____________
Пользуясь тем, что jj е‘аг‘ dz — j/'1-^, легко вычислить пра-
— оо
вую часть формулы (138.7). Интеграл, содержащий множителем ^(j, /0), в силу нормировки (138.6) равен 1. Интегрирование слагаемого, линейного по |, дает нуль. Интеграл, содержащий ?2,
1 h2
равен ~ 7/f А/. Члены более высокой степени по ? стремятся
к нулю быстрее, чем (А/)3/г. Собирая теперь результаты интегрирования и замечая, что U + ДО — Ф(*» ^о)](мы
заменили t0 на t, поскольку они не различаются при А/->0), получаем для волновой функции ^(х, /), определенной с помощью (138.1) и (138.4), уравнение Шредингера (138.5). Тем самым доказано, что метод пропагатора (метод Лагранжа) эквивалентен применению уравнения Шредингера —аналога метода Гамильтониана—Якоби в классической механике.
После всего сказанного можно написать пропагатор и для конечного промежутка времени (t0y i). Перемножая пропагаторы
(138.4) для промежуточных интервалов (tk, /*+1) и интегрируя по промежуточным значениям переменных xk, найдем
N — 1
X
К{х, t\ Хо, *0) = ^ J ... J ехР "пр 2 \m2^k'\tXkY~ ~У{Хк)М\
д/lfo V *=i )
N
хС2 dxx dx* ... dxN-x. (138.8)
Этот предел многократного интеграта называется функциональным интегралом. Замечая, что при бесконечно тонком разделении
интервала ((0, /) величина Хь+'~Х*. может трактоваться как ско-
dx -
рость j^ — x, и обозначая элемент объема интегрирования C2dx1...
...dxN-i через cf {лг}, мы можем записать результат (138.8) в компактном виде
Р t
К (х, t; х0, t0) = § {*} exp (х, х) dt
to
(138.9)
Интеграл, стоящий здесь в показателе экспоненты, есть классическое действие
t
S = \L{x, x)dt. (138.10)
to
Интегрирование в формуле (138.9) распространяется не только на классические траектории, которые соответствуют экстремуму
§ 138] ФЕЙНМАНОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
613
интеграла (138.10), но и на все траектории, соединяющие точки (/0, Хо) И (/, X).
Представление пропагатора в виде функционального интеграла по траекториям (138.9) позволяет легко понять, почему в классическом пределе можно рассматривать лишь классические траектории. Действительно, если данную систему можно описывать классической механикой, то в этом случае действие S очень велико по сравнению с постоянной Планка Й. Рассмотрим траекторию, которая не является решением классических уравнений движения. Всякое небольшое изменение такой траектории приводит к очень большому изменению отношения S/ft в формуле
(138.9) и быстрой осцилляции амплитуды. В результате вклады от всех таких траекторий взаимно гасят друг друга. Поэтому в классическом пределе эти траектории можно не рассматривать.
Однако в окрестности траектории, определяемой классическими уравнениями движения, дело обстоит иначе. Так как действие здесь экстремально 6S = 0, то малые отклонения от этой траектории не меняют величины 5. Поэтому вклады в пропагатор таких траекторий взаимно не уничтожаются, так как они близки по фазе, которая равна здесь SKJfi. Таким образом, в классическом приближении только для траекторий, где действие экстремально, пропагатор (138.9) будет отличен от нуля. Но это есть в точности классический результат, а именно, всякое тело движется по пути наименьшего действия 6S = 0.
В заключение этого раздела приведем явное вычисление про-пагатора К (х, t; х0, t0) для свободно движущейся частицы и для осциллятора. В первом случае функция Лагранжа L равна
