Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 138. Фейнмановская формулировка квантовой механики
В предыдущем параграфе была изложена формальная схема квантовой механики, которая стала общепринятой. В основе этой схемы лежит уравнение Шредингера, и при переходе от классического описания к квантовому используется гамильтонов формализм.
Однако существует и другая формулировка квантовой механики, предложенная Фейнманом в 1942 г.х). Фейнмановский подход не базируется на уравнении Шредингера и вместо гамильтонова формализма используется лагранжев метод2). Хотя эта формулировка не столь популярна, тем не менее она обладает рядом преимуществ.
Основным объектом в подходе Фейнмана является про па-гатор К {q, t\ q0i /0), который позволяет выразить волновую функцию г|з(</, t) через ее начальное значение гр (q0, i0) в момент времени /=-=/<>•
Здесь под q можно понимать любые динамические переменные, описывающие нашу систему в момент времени /, а под q0 — те же переменные в момент времени /0. В этих обозначениях пропагатор К определяется соотношением
Mp(q, t) — ^K (q, t; .q0, /0Ж<?о, t0) dq0. (138.1)
*) Полное изложение этого метода можно наиш в книге Р. Фейнмана и А. X и б с а, Квантовая механика и интегралы по траекториям, «Мир», 1968„
2) На возможность применить лагранжев метод в квантовой механике впервые указал Дирак в 1933 г. См. П. А. М. Дирак, Принципы квантовой механики, Физматгиз, 1960, § 32.
§ 138] ФЕЙНМАНОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 609
Очевидно, что пропагатор К должен удовлетворять уравнению Шредингера, поскольку г|)(<7, /) удовлетворяет этому уравнению. Он должен обращаться в b(q — qo) при t = tQ, чтобы соотношение (138.1) имело смысл и при t = t0. Далее, при t0>t обычно полагают К = 0 (принцип причинности). Эти условия приводят к тому, что пропагатор К совпадает с запаздывающей функцией Грина & полного (т. е. с учетом взаимодействия) уравнения Шредингера.
Однако мы не будем ссылаться теперь на уравнение Шредингера, а изберем другой путь вычисления пропагатора К, более адекватный этому новому понятию.
Рассмотрим сначала основные свойства оператора /С. Пусть в момент t = t0 динамические переменные q имели одно определенное значение q — q0. В этом случае (qf0, t0) = 6 (<^ — q0). Если в момент времени t q — q', то, согласно (138.1), получаем
i|t)=K{q', t; q0, t0).
Отсюда следует, что величина
P{q\ t\ q0, *o) = U>fa', t)\* = \K{q’, t\ q0, t0) |2
есть вероятность перехода системы из состояния q — q0h состояние q—q’ за время t —10 (to<t). Пропагатор К обладает важным свойством: произведение пропагаторов есть опять пропагатор. Действительно, взяв функцию ty(q', t) за начальную и подставив ее в (138.1), получим
К (q, t; qo, to) = $K(q, U <f, t")K(q", t"; q0, t0)dq". (138.2)
Из (138.2) видно, что переход системы из состояния q0f которое она занимала в момент времени /0» в состояние q к моменту времени t (/>/0) можно рассматривать в два этапа: Вначале система переходит в любое промежуточное состояние q' в момент времени t" (/0<^<0» и только после этого осуществляется переход в конечное состояние q к моменту времени t.
Очевидно, что можно и далее дробить интервал (ty t0). Разобьем его на N интервалов: (f0, /1), (/1, /2). •••> (4, 4н), •••, (*лг-ь tN), tN = t. Значения динамических переменных в указанные моменты времени обозначим через qk (k = 0, 1, ..., N), так что пропагатор /С, относящийся к /-му интервалу, будет иметь вид
Ki = K(qi+i> ti+ъ Qh U)-
Применяя последовательно пропагатор Ki к любой начальной функции г];(^0, /0)» получим следующее выражение пропагатора для интервала времени (t0y t):
К (q, t\ qo> t0) = \ (q, t\ q^-1, tN.1) К (qN-ъ tN-ъ qN-2» tN.«)...
...K(q2> h\ <71, U)K(qu h; q0, t0) dqN-ly dqN-2 ••• dqly (138.3)
610
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
[ГЛ. XXV
где интегрирование ведется по всем промежуточным состояниям (интеграл кратности N—1).
Процесс последовательного перехода через все допустимые промежуточные состояния называется цепью Маркова. Однако в классической теории эта цепь образуется не амплитудами перехода (как это мы получили в (138.3)), а вероятностями перехода Р (c/k+ъ h+ъ Qkt h)>
P(q, t; <7o, 4) = $...$P(<7, t; qN.ly tv-i) P(qiv-i, tn-i, Чы-г, tv-2) ••• ...P(q2, h\ <71. h)P{qu h; q0> U)dqN-1dqN-« ... dqv. (138.3')
На рис. 99 показаны несколько' «траекторий», возникающих в цепи Маркова. Мы взяли слово траектории в кавычки, так как любой конечный промежуток времени Дt~tkvl — tk можно разбить на более мелкие интервалы Д? ^Д/. В свою очередь, и эти интер-
(138.3'). Однако она описывает движение квантовой системы, которое прерывается в моменты времени t = tk (fe=l, 2, 1)
измерением ее динамических переменных q, иными словами, вмешательством измерительного прибора. При этом нарушается когерентность движения системы на отрезках времени (tk-ь tk) и
(/*. 4+i).
Для того чтобы найти явное выражение для пропагатора К (q, t\ <7о» ^о)¦ обратимся, ради упрощения, к частному случаю одномерного движения материальной точки во внешнем потенциале V (х). В этом случае q=--x и классическая функция
валы можно дробить далее, так что траектории в цепи Маркова не имеют непрерывных касательных.
