Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
т. е. такие состояния, в которых (AL)2 = 0. Это требование ведет
к уравнению для собственных функций оператора L (ср. § 20):
ЬЫ*) = ?Ы*)- (III)
Отсюда находится спектр L (непрерывный или дискретный)
и соответствующие собственные состояния ^(*). Принимается, что собственные значения оператора L и суть те значения величины L, которые наблюдаются на опыте.
Так как собственные функции образуют ортогональную систему функций, то любая волновая функция гр(х) может быть разложена в спектр по собственным функциям %.(*):
г|ф) = 1>(Ь)яМ*)> (137.1)
L
А. А
х) Символом (и, Lv) мы обозначаем «скалярное произведение» и и Lv, которое в случае непрерывных переменных имеет вид интеграла (и, Lv) = = ^ и*Lv dx, а в случае дискретных переменных вид суммы (и, Lv) =
= У! У! u-iLnnVn
/ -i jCmJ п пт щ •
п т
606
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
[ГЛ. XXV
где
с(Ь) = (хри ф), (137.2)
а знак суммы 2 должен пониматься как знак интеграла {jdL если спектр L непрерывный.
Это спектральное разложение фактически осуществляется в устройстве, которое разлагает ансамбль гр (л*) по подансамблям % (;с), в частности, в измерительном приборе, определяющем величину L.
Вероятность найти значение величины равным L в ансамбле, характеризуемом волновой функцией гр(л-), равна \c(L) |2 (в случае непрерывного спектра \c(L)\2 есть плотность вероятности).
С другой стороны, с (L) есть волновая функция того же ансамбля, но взятая в «/^-представлении. Иначе говоря, функции c(L) и г|)(л:) изображают один и тот же квантовый ансамбль. В этой связи формулы (137.1) и (137.2) могут рассматриваться как преобразования волновой функции от одних переменных к другим с помощью унитарного оператора S, матричные элементы которого S (L, х) равны г|^(*).
Четвертый существенный пункт квантовой механики относится к изменению ансамблей во времени; именно, изменение, во времени волновой функции, описывающей ансамбль, находится из уравнения Шредингера
= (IV)
где оператор Н есть гамильтониан системы, зависящий только от природы системы и от рода действующих на нее внешних полей. Оператор Н будет оператором полной энергии системы, если внешние поля не зависят от времени. Обычно
Н = т + U, (137.3)
где Т есть оператор кинетической энергии, a U - оператор, представляющий потенциальную энергию или силовую функцию.
Оператор f есть функция оператора импульса Р. Опыт показывает, что в отсутствие магнитных сил
т=2й- <137-4>
k
где Рь — импульс k-й частицы, а mk — ее масса. В случае наличия магнитного поля Pk следует заменить на
йл = р*-?- Аь (137.5)
где Ak — вектор-потенциал в точке нахождения k-й частицы.
§ !57J ФОРМАЛЬНАЯ СХЕМА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 607
Из уравнения Шредингера (IV) и из определения среднего значения (II) следует, что
ЧГ = (*> Ж*) + 40- <137-6)
Поэтому оператор ^, изображающий производную величины L по времени, имеет вид
7Г = -^ + [й, L\, (137.7)
где [Я, L\ — ‘n (HL — LH) есть квантовая скобка Пуассона. Интегралы движения характеризуются тем, что
4^=0. (137.8)
В отсутствие внешних сил важнейшими интегралами движения будут: энергия, полный импульс системы
= = (137.9)
к к
и момент импульса
Л = (137.Ю)
k к
где S*-спиновый момент k-й частицы.
Вид оператора Р как раз и может быть определен из того факта, что он изображает величину, являющуюся интегралом движения, т. е. коммутирует с оператором Н в отсутствие внешних сил. Из операторов Pk и rk можно строить и другие, более
сложные операторы, физическое значение которых может быть
весьма специальным. Таким образом, вид важнейших операторов определяется сам собою, если постулировать вид оператора Гамильтона (т. е. уравнение Шредингера).
Последнее из основных предположений квантовой механики относится к системам одинаковых частиц. Это —принцип тождественности. Согласно этому принципу обмен любой пары одинаковых частиц (k, j) не ведет к физически новому состоянию.
Математически это выражается в форме условия, накладываемого на волновые функции
= (V)
где Я = ±1 есть собственное значение оператора перестановки Pki. Это условие ведет к делению состояний на два класса:
4я = WS (симметричные), (137.11)
Ч? = (антисимметричные). (137.11')
608
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
[ГЛ, XXV
Далее, из уравнения Шредингера следует, что симметрия не может измениться с течением времени. Поэтому принадлежность частиц к сорту «s» или сорту «а» может определяться только природой частиц. Частицы, состояния которых описываются антисимметричными волновыми функциями суть частицы Ферми. Они подчиняются принципу Паули, который вытекает как следствие из свойств ансамбля, описываемого антисимметричными волновыми функциями.
Частицы, состояния которых описываются симметричными функциями 4%, называются частицами Бозе.
Таким образом, мы видим, что в основе квантовой механики лежат пять фундаментальных положений: (I) принцип суперпозиции состояний, (II) определение среднего значения, (III) толкование собственных значений как единственно возможных, (IV) уравнение Шредингера и (V) принцип тождественности частиц одного сорта. Физические основания этих положений были подробно обсуждены в соответствующих главах курса.
