Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
2) В дальнейшем звездочка всегда будет означать комплексно-сопряженную величину.
52
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
[ГЛ. II
Вероятность нахождения частицы в момент времени t в объеме V, согласно теореме сложения вероятностей, равна
W (V, 0=5 dW = dv= У \р(х, у, г, t) 2 dv. (10.4)
V V к
Если произвести интегрирование по всему объему, то мы получим вероятность того, что в момент времени t частица находится где-нибудь внутри этого объема. Это — вероятность достоверного события. В теории вероятностей принято вероятность достоверного события считать равной 1. Если принято это соглашение, то интеграл от | г)} |2 по всему объему следует приравнять единице:
$ Itjj (х, у, г, t)?dv=l. (10.5)
V
Это условие называется нормировкой, а функция я|э, удовлетворяющая этому условию, называется нормированной.
Нормировка может оказаться невыполнимой, если интеграл, взятый по всему объему от | ур |2, расходится, т. е. функция квадратично не интегрируема. В физически реальных условиях движение частицы всегда происходит в ограниченном пространстве. Это ограничение обусловливается геометрическими размерами приборов и конечной скоростью движения частиц. Поэтому вероятность найти частицу отлична от нуля лишь в конечной области пространства, так что функция я|) должна быть интегрируема. Однако в ряде случаев приходится все же пользоваться некоторыми идеализациями, которые ведут к неинтегрируемым функциям. Простым примером таких функций является плоская волна (7.1). В^го время как в действительности параллельный пучок всегда ограничен диафрагмами с боков и спереди своим фронтом, при достаточно больших размерах пучка, когда краевые эффекты не играют роли, мы можем рассматривать пучок как плоскую волну. Предполагается, что последняя занимает все пространство.
Из (7.1) следует, что | г|; |2 = | С |2 = const. Это означает, что одинаково вероятно частицу найти в любом месте. Нормировать к единице в этом случае нельзя. В дальнейшем мы дадим, однако, рациональную нормировку и для этого случая.
Второе замечание относится к зависимости от времени. Нормировка имеет смысл лишь постольку, поскольку она сохраняется во времени, т. е. равенство (10.5) должно иметь силу для всех моментов времени (иначе нельзя сравнивать вероятности, относящиеся к различным моментам времени). При рассмотрении законов изменения волновой функции во времени будет показано (§ 28), что нормировка действительно не меняется, т. е. что интеграл (10.5) от времени не зависит.
ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ СОСТОЯНИЙ
53
§ 11. Принцип суперпозиции состояний
В данных физических условиях частица может находиться в различных состояниях в зависимости от способа, каким она в эти условия попадает. Обращаясь к простейшему случаю свободного движения частицы без действия внешних сил и без Езаимодействия с другими частицами, мы можем иметь дело с состояниями движения, различающимися как величиной, так и направлением импульсов. Каждое из этих состояний может быть реализовано само по себе. Однако существуют и более сложные случаи. Примером может служить дифракционный опыт Дэвиссона и Джермера, в котором падающий на кристалл пучок разбивается на систему дифрагированных пучков. После взаимодействия с кристаллом движение происходит опять-таки в пустом пространстве, но представляется уже целой совокупностью волн де Бройля, отличающихся друг от друга направлением распространения.
Направляя на поверхность кристалла пучок определенной длины волны Я, мы не можем получить какую-нибудь из дифрагированных волн, а получаем сразу всю совокупность этих волн (вместе с падающей), находящихся к тому же в определенных фазовых отношениях друг к другу и поэтому способных к интерференции. Вся эта совокупность волн представляет собой единое Еолновое поле и изображается одной волновой функцией я|). Однако такое волновое поле является совокупностью простых волн де Бройля 'фр, каждая из которых сама по себе может описывать возможное состояние движения частицы в пустом пространстве. В этом можно убедиться, если выделить с помощью диафрагмы из всего волнового поля г|э один из дифрагированных пучков и затем вторично подвергнуть его дифракции.
Мы говорим, что состояние, возникающее при дифракции частиц на поверхности кристалла, является суперпозицией (наложением) состояний свободного движения, описываемых простыми волнами де Бройля. Этот случай суперпозиции является частным выражением общего принципа суперпозиции состояний, составляющего одну из основ квантовой механики.
Принцип этот может быть сформулирован следующим образом: если какая-либо система (частица или их совокупность) способна находиться в состоянии, изображаемом волновой функцией и в другом состоянии то она может находиться и в состоянии, изображенном волновой функцией 'ф, такой, что
^ = ^1 + ^2,
где сх и с2 — произвольные, вообще говоря, комплексные числа, определяющие амплитуды и фазы частных состояний ^ и г|э2. Отсюда следует, что если имеется ряд возможных состояний системы, отличающихся друг от друга значением какой-либо величины
54 ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. II
