Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
На самом деле они ортогональны только приближенно.
§ 130] ФЕРРОМАГНЕТИЗМ 583
убывает с увеличением расстояния между атомами I и /.' Благодаря этому при решении уравнений (130.8) можно ограничиться матричными элементами //г, относящимися к ближайшим соседям. Так как в кристалле все ближайшие соседние атомы равноправны, то обменный интеграл имеет для них одно и то же значение /. Таким образом, уравнения (130.8) можно написать в виде
(Е - NE0) а, + /2 [а, - аг] = 0, (130.9')
где сумма распространена по атомам /', соседним атому /. Число ближайших соседей и их расположение зависят от типа кристаллической решетки. Для простой кубической решетки соседние с атомом / (/ъ /2, /3) атомы имеют числа /', равные /i±l, /2, /3; 1Ъ /2± 1, /3; 1Ъ /2, /3± 1.
Видно, что уравнения (130.9') имеют решения
at = aiti2i3 = const • el ^ +92/2 + ч»1*), (130.10)
где qu q2, ^ — некоторые безразмерные величины. В самом деле, подстановка (130.10) в (130.9') дает
Е — NE0 = 2/ (3 — cos qx — cos q2 — cos q3), (130.11)
откуда
E(q 1, q*, qs) = NE0 + 2/ (3 — cos qx — cos q2 — cos q3). (130.12)
Замечая, что lxa, l2a, /За, где а —постоянная решетки, суть координаты узла решетки, мы видим, что (130.10) может рассматриваться как плоская волна с волновым вектором к = ^ ~ ~ ~ j.
Вероятность найти спин, направленный против OZ, есть | at |2 = = const, т. е. все положения спина равновероятны. Таким образом, амплитуды аи определяющие состояние спина, весьма аналогичны волновой функции свободно движущейся частицы, имеющей заданный импульс. Эта аналогия еще усугубляется тем, что по крайней мере для малых к энергия (130.12) может быть написана в виде
? = const + ~-?2+ (130.13)
где = 1а , т. е. в виде, совпадающем с выражением энергии
для свободной частицы. Величину ji* можно рассматривать как эффективную массу. Ввиду наличия такой аналогии между распространением в кристалле спина определенной ориентации и движением свободной частицы состояние (130.10) называют спиновой волной.
Если в кристалле имеется не один, а несколько (г) спинов, ориентированных против оси OZ, то расчет протекает аналогич-
584
МАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. XXIII
ным образом, но усложняется тем, что при наличии многих спинов, ориентированных против оси 0Z, могут встретиться пары соседних атомов со спинами, направленными против OZ. Для этих пар обменные интегралы не равны нулю. Однако при небольшом числе г такие случаи будут встречаться редко, и полное решение может рассматриваться как совокупность невзаимодействующих спиновых воли вида (130.10) (или, с корпускулярной точки зрения, как «спиновый газ»). Энергия будет суммой энергий для каждой из спиновых волн. Если мы обозначим вектор q для k-i\ спиновой волны через qft, то вся энергия спинового газа будет
г
Е = NE0 + 2/ V (3 — cos qlk — cos q2k — cos qsk). (130.14)
k = i
Из этой формулы следует, что при отрицательном / ферромагнетизма быть не может, так как при / < 0 энергия имеет минимум при наибольшем г. Поэтому при тепловом равновесии первоначальная ориентация всех спинов по оси будет стремиться расстроиться. Напротив, при положительном обменном интеграле минимум энергии будет достигаться при наименьшем г, так что если некоторая часть спинов ориентирована против оси OZ, то эти спины будут иметь тенденцию ориентироваться по оси OZ (число г будет уменьшаться). Поэтому положительное значение обменного интеграла является необходимым условием ферромагнетизма (только в этом случае состояние с наименьшей энергией может быть состоянием, в котором все спины электронов направлены одинаково). Причиной, приводящей к ориентации спинов в одну сторону, являются, таким образом, пе фиктивное магнитное поле Вейсса, а обменные силы. Ферромагнетизм есть явление квантовое. Наконец, мы видим, что ферромагнетизм не является свойством отдельных атомов, а представляет собой свойство кристалла, что находится в согласии с тем фактом, что ферромагнитных газов не существует.
Для вычисления н-амагничения ферромагнетика при какой-либо температуре Т следует найти, методами статистики, среднее значение г. Тогда магнитный момент куска ферромагнетика, содержащего N электронов, будет, очевидно, равен
t0l = ?DlB(N-2r), (130.15)
где Шв есть магнитный момент одного электрона (магнетон Бора). За соответствующими вычислениями и другими подробностями мы отсылаем читателя к специальной литературе1).
х) См, С. В. Вонсовский, Магнетизм, «Наука», 1971.
Глава XXIV
АТОМНОЕ ЯДРО § 131. Ядерные силы. Изотопический спин
Взаимодействие нуклонов в ядре представляет собою еще далеко не решенную проблему. Однако принципы квантовой механики оказываются применимыми как к движению нуклонов в ядре, так и к взаимодействию нуклонов с ядром. На этом пути за последние годы достигнуты значительные успехи и квантовая механика оказывается настоящим путеводителем физика в сложной картине ядерных взаимодействий.
Отсылая читателя к специальным курсам1), мы остановимся здесь лишь на наиболее простых и важных обстоятельствах.
До сих пор никому еще не удалось написать выражения для потенциала протонов и нейтронов (как принято говорить, нуклонов) в атомном ядре. По-Ёидимому, это очень сложная функция положений, скоростей и спинов нуклонов. Весьма вероятно, что она вообще непредставима в виде суммы попарных взаимодействий отдельных нуклонов.
