Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
В случае волн де Бройля интенсивности определяют вероятности местонахождения частицы. Поэтому важно лишь отношение
50
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
[ГЛ. II
интенсивностей в различных точках пространства, а не сама их абсолютная величина: Это отношение показывает, во сколько раз в одном месте пространства вероятнее обнаружить частицы, нежели в другом. Поэтому, если в одном случае интенсивность волн де Бройля всюду вдвое больше, чем в другом случае, то физическое состояние частиц в обоих случаях одно и то же,так как при таком увеличении амплитуды волн отношения интенсивностей в различных областях пространства остаются неизменными.
Волны де Бройля дают, таким образом, статистическое описание движения микрочастиц: они определяют вероятность обнаружения (локализации) частицы в данном месте пространства в данный момент времени *).
§ 10. Вероятность местоположения микрочастицы
Обозначим через л:, у, г координаты частицы. Согласно изложенному в § 9 точный смысл в ху у и г вкладывается следующей измерительной операцией: величины ху у, г определяются как координаты той точки пространствау в которой локализуется частица. Так, например, это будут координаты пятнышка на фотопластинке, получившегося в результате попадания на пластинку частицы, или например, координаты, определяющие положение щели, через которую прошла частица, и т. п.
Координаты пятнышка или щели могут быть определены путем откладывания твердого масштаба. Такое измерение координаты мы будем называть «п р я м ы м», так как оно есть как раз то измерение, на котором покоится само макроскопическое определение понятия координаты частицы. В тех случаях, когда подобное определение координаты частицы невозможно (например, если частица находится внутри атома), мы будем определять ее координаты посредством «косвенного» опыта 2), т. е. измеряя указанным выше путем координаты некоторой другой частицы, которая претерпела столкновение с интересующей нас частицейг и на основании этого измерения получим сведения о недоступных прямому измерению координатах частицы, находящейся в атоме. Пример подобного «косвенного» измерения будет приведен в § 16.
Сформулируем теперь математически статистическую интерпретацию волн де Бройля. Заметим прежде всего, что слово «волны» мы употребляем сейчас весьма условно. Только в очень специальных случаях состояние частиц будет описываться простыми плоскими волнами. В общем случае то, что мы сейчас называем волнами
*) Впоследствии мы увидим, что, зная волну де Бройля, описывающую состояние частицы, можно найти вероятность не только местоположения частицы, но и вероятность любого результата измерения любой механической величины, относящейся к рассматриваемой частице.
2) Деление опытов на «прямые» и «косвенные» было введено JI. И. Мандельштамом,
§ 101 ВЕРОЯТНОСТЬ МЕСТОПОЛОЖЕНИЯ МИКРОЧАСТИЦЫ
51
де Бройля, может представлять собрй весьма сложную функцию координат частицы х, у, z и времени t, Тем не менее и для этих сложных случаев мы будем употреблять термин волновая функция и обозначать последнюю буквой г|?х):
= у, г, /). (10.1)
Как было пояснено в § 9, на основании изложенных фактов мы принимаем, что вероятность местонахождения частицы, определяется интенсивностью волн, т. е. квадратом амплитуды г|?. Имея, однако, в виду, что \|) может быть комплексной величиной, а вероятность должна быть всегда действительной и положительной, мы будем брать за меру интенсивности не ty2, а квадрат модуля г|),
т. е. величину |ф |2 = i|)*i|), где через г|?* обозначена величина,
комплексно-сопряженная ф 2).
Далее следует заметить, что вероятность найти частицу в окрестности точки х, у, г зависит, конечно, от размеров выбираемой области. Рассматривая бесконечно малую область
х, x + dx; у, y + dy; г, z + dzt
мы можем считать г|? внутри этой области постоянной, а поэтому вероятность найти частицу следует считать пропорциональной объему этой области. Обозначим этот элемент объема через dv = = dxdydz.
Обозначая саму вероятность (бесконечно малую) нахождения частицы в элементе объема dv в окрестности точки х, у, z в момент времени t через dW (ху у, г, /), мы можем записать статистическую трактовку волн де Бройля в виде следующего равенства:
dW (х, у, z, *) = |г|)(*# у, г, t)\2dv. (10.2)
Это равенство позволяет по известной волновой функции я|э (х, уу г, /) вычислить вероятность местонахождения частицы dW (х, у, г, t). Величину
w(x, у, z, f) = ~ = |г})(х, у, z, t) |* (10.3)
будем называть плотностью вероятности.
х) Укажем здесь, что для двух простых случаев мы уже знаем волновую функцию. Именно, для частиц, движущихся с заданным импульсом р, волновая функция грр есть монохроматическая плоская волна (7.1). Далее, нам известна функция для почти монохроматической волны, т. е. для группы волн (7.8). В ближайшем изложении мы будем оперировать с произвольными волновыми функциями, оставляя пока в стороне вопрос о том, как такие функции могут быть определены для заданных физических условий (см. § 28). Считая такое определение возможным, мы будем говорить, что-ф-функция описывает (статистически) состояние частицы.
