Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
N
(105.2)
k — 1
N
II м (105.2')
k = 1
N
М;= 2 Мг- (105.2")
к = 1
Покажем, что оператор производной по времени от момента импульса равен моменту сил, действующих на систему (точнее, оператору момента сил). Согласно общему определению производной оператора мы имеем
^=1-(НМх-МхН). (105.3)
Гамильтониан Й, согласно (102.6'), равен
й~2 {-iivl+u‘)+ I у«- <105-4>
k=l кф!—\
Для вычисления перестановки операторов в (105.3) мы должны иметь в виду, что каждое слагаемое Mkx в Операторе Мх действует лишь на те члены в Я, которые содержат координаты fc-й частицы.
Операторы V| коммутируют с оператором Мх. Действительно, как мы знаем, оператор кинетической энергии можно представить
450
ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
[ГЛ. XVII
в виде
-Т5г/‘ = ^ + 5?|- <105'5>
где Г, — оператор той части кинетической энергии частицы, которая отвечает движению частицы по радиусу-вектору г*, а (М*)2 — квадрат момента импульса k-й частицы. Мх коммутирует и с 7Vft,
и с (УИ*)2, поэтому Мх коммутирует с —
Вычислим теперь перестановку Мх и Ик. Имеем UkMx —MxlJk=- — in\uk \jjk щ — ф-) - [у к Q~ - z* ^-J =
(105'6)
Наконец, найдем еще перестановку kJMkx-MxUki-
., ( dUkj dUkf\ ..dUkff ?k г/ Ук У]\
= »й {Уь-fo;-Zkl^) = lh^ \Ук~Тк'/ г*~п~)=
диш 1
= iti(zky,-zfyk)-^—, (105.7)
Подставляя (105.6) и (105.7) в (105.3), найдем
dMx yi / дик Шк\ vi 1
"ЗГ"" ~ 2d \Ук~д^~гк д^) ~ 1 ^кУ’~Укг^д7^7^'
/г=1 kjzj=\
Последняя сумма равна нулю, в чем убеждаемся сразу, переменив местами индексы k и /. Поэтому получаем
т--2 <105-8>
Стоящее справа выражение есть не что иное, как оператор проекции на ось ОХ суммы моментов внешних сил, действующих на систему. Совершенно таким же образом получаем
dMu ,
(105.8')
N VI ( dUk dUk
1 ' Xk dzk .
k=\
N
X (y dUk „ dUk
2d\kdyk k-\ Укдхк,
<105.8*)
Таким образом, мы получаем теорему, известную из классической механики: изменение момента импульса в единицу времени равно
§ 1051
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
451
моменту внешних сил, действующих на систему. Эта теорема в квантовой механике, подобно теореме о полном импульсе, формулируется для операторов.
Если момент внешних сил равен нулю, то полный момент импульса системы сохраняется:
dMK dM п dMz
ИГ ~ ~1Г = ИГ ~ °' (105-9)
Следовательно, при отсутствии внешних сил среднее значение момента импульса МХУ Ми, М. и вероятности w (Мх), w (Му), w(M2) нахождения определенного значения какой-либо из проекций момента не изменяются с течением времени.
Если учесть спин частиц, то оператор полного момента импульса должен быть определен по формулам
мх= ? Ой*+**?). (105.10)
N
л»,-б w+«). k= 1 (105.10')
N
*=i (105.10")
где s*, s*, sk2 — операторы (двухрядные матрицы) проекций собственного механического момента k-и частицы. Теорема о сохранении полного момента импульса остается в силе и в этом случае. Если нет сил, действующих на спины, то доказательство этой теоремы ничем не отличается от приведенного выше, так как при таком предположении гамильтониан системы коммутирует со всеми операторами sft.
Так как операторы М*9 Му, М'1, s*, syi skz, принадлежащие разным частицам (разные k), коммутируют между собой, то из известных правил перестановки для компонент орбитального момента (25.5) и спинового момента (59.1) одной частицы легко получить правила перестановки для полного момента импульса системы частиц:
МхМи — МцМх = шмг, (105.11)
MHMz — М-Му = ihMx, (105.11')
MzMx — МхМг = ihMy. (105.11'')
№Mx-Mx№ = 0, (105.12)
№Му-Му№=-- 0, (105.12')
М2Мг-МгМ2= 0, (105.12")
452
ЗАДАЧА МНОГИХ ТНЛ
[ГЛ. XVII
где УЙ2 есть оператор квадрата полного момента импульса
/и2 = д1Н-м;;+м*. (Ю5.13)
Ниже на основании этих правил перестановки доказывается, что полный момент импульса для системы частиц квантуется по формулам
M2 = ti2J (J + 1), (105.14)
= |т|С/, (105.15)
причем J есть либо целое число 0, 1, 2, 3, ..., либо полуцелое V2, 3/2, 5/2, ... в зависимости от числа частиц и их спина. Неравенство \m\^J означает, что т = J, J— 1, J — 2, Иначе
говоря, мы имеем всего 2/+1 квантовых ориентаций полного момента относительно любого направления (OZ).
Заметим, что так как у электрона спин полуцелый'^/г), то для четного числа электронов J всегда целое, а для нечетного — полу-целое.
Проекции (105.2), (105.2'), (105.2") полного орбитального момента
N
ML = 2 (105.16)
l
и полного спинового момента
N
Ms^%sk (105.17)
/г — 1
подчиняются тем же правилам перестановки, что и проекции полного момента. Поэтому они квантуются по аналогичным формулам
ML = h2L(L+l), L = 0, 1, 2, 3, ..., (105.18)
M2l, = timLy \mL\^L, (105.19)
Ml=^h2S(S+ 1), S = 0, 1, 2, 3, ..., или 5 = y2> 3/2, 5/2, ....
(105.20)
Mzs^=timsy |ms|cS. (105.21)
При заданном значении полного орбитального момента L и заданном значении полного спинового момента S возможны различные
значения J в зависимости от взаимной ориентации векторов Ml и Ms. Рис. 48 (стр. 274) может служить иллюстрацией сложения этих моментов.
Очевидно, что J может принимать все значения от L + S, соответствующего параллельной ориентации ML и Ms, до | L —S1, соответствующего антипараллельной ориентации этих векторов,
