Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Блохинцев Д.И. -> "Основы квантовой механики" -> 153

Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.

Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики — Наука, 1976. — 664 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovikvantovoymehaniki1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 147 148 149 150 151 152 < 153 > 154 155 156 157 158 159 .. 229 >> Следующая

Если внешние силы отсутствуют (Uk — C), то из (103.6) следует, что
# = 0, (103.7)
т. е. полный импульс системы частиц, взаимодействующих между собой, в отсутствие внешних сил сохраняется.
Напомним, что операторное равенство (103.7) означает, что: 1) среднее значение полного импульса не меняется с течением времени, 2) вероятности w(Р') того или иного значения Р' также остаются неизменными.
§ 104. Движение центра тяжести системы микрочастиц
Докажем важную для приложений теорему о независимости Движения центра тяжести системы от относительных движений частиц, образующих эту систему. Для этого преобразуем гамильтониан системы частиц Я, подверженных действию лишь внутренних
446
ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
[ГЛ. XVII
сил:
я = ~^о+#,
N
D
k = l
пч
V| и W = У uki{rh]),
JbbA
Jfc/ = 1
(104.1)
(104.2)
к новым координатам: координатам центра тяжести системы X, Y, Z и 3N — 3 относительным координатам. Удобно взять так называемые координаты Якоби, которые определяются следующим образом:
? тххх
- *2 = хг - Х2,
л'з»
тх
т1х1-\-т2Хс>
t + +
/72^/722 + ... +/Пу */ЧЬ
oNz
т1дг1 + ... +
лг
(104.3)
mi + --- + ^7V
Совершенно такие же формулы имеют место для осей OY и OZ:
т\У\-\~ - - ’-V mjyj
Лу:
(104.3')
m1 + ... + tnj
Эти формулы представляют собой обобщение обычных формул для координат центра тяжести и относительных координат двух частиц. Координаты Якоби являются ортогональными. С помощью обычных правил перехода от дифференцирования по одним переменным к дифференцированию по другим переменным можно доказать, что *)
м~\
. 1 V--1- ^ V2-
'М ^ A* iv / = 1
D
(104.4)
где
vs -= + JL + Л = il- 4- + Л
сГ^ + dl+ дх» + дг* + 6Z*
JL
(104.5)
(104.6)
A) См. дополнение XI.
§ 104) ДВИЖЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ СИСТЕМЫ МИКРОЧАСТИЦ 447
М есть масса всей системы, a jiiy — приведенная масса центра тяжести / первых частиц и (/+1)-й:
N
М=?т>, (104.7)
*=i
i = _J------|__L (Ю4.8)
И/ т/+1
S
Л=1
И
(104-9)
Из этих формул следует, что гамильтониан (104.1) может быть написан в виде
О—
+ W (?ъ . ••> |лг-1э Ль •••> Ллг-ь ?ь •••> Sw-i)> (104.10) причем оператор
2М ~~m[dX^~r0YJ~rdZ^
t- _.^V8== — —f—+ — + (104 11)
1 9М 9МЫУ2Т:;у>Т/)72
есть оператор кинетическои энергии центра тяжести всей системы, а оператор
<ш4-12>
/ = i
есть оператор кинетической энергии относительного движения частиц. Существенно, что в "энергию. взаимодействия № координаты центра тяжести не входят. Преобразуя gjV_b ...
• • •» "Htv-i» Si» • • • > к любым новым относительным координа-там, qlt q2, ..., q3N-3, мы не изменим оператора Т. Поэтому вообще вместо (102.6') можно написать
H = <72> .... <7зл'-з). (104.13)
где Hi есть гамильтониан для относительного движения, который не содержит координат центра тяжести. Далее, на основании (104.9) и (103.1) получаем новое выражение для оператора полного
импульса
px = — ih~> Py = -ibtf, = (104.14)
448 ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ [ГЛ. XVII
Волновую функцию ? будем рассматривать как функцию координат центра тяжести Ху Y, Z и относительных координат qu q2, ...
• ••, Q'sn-3> Уравнение Шредингера с гамильтонианом (104.13) допускает разделение переменных, если положить
^(Х, Y, Z, <7ь <72.q3X 3, t) =
= Ф(Х, Y, Z, t)ty(qly q2y ..., q3N.3, t). (104.15)
Подставляя (104.15) в уравнение Шредингера, получим
ih f ф + ШФ f = - $ 72Ф + ФН$. (104.16)
Разделив это на Фф и приравнивая порознь члены, зависящие
от X, Y, Z и qL, <72, ..., <?злг-з, мы найдем два уравнения:
inTt = -m^> 0°4-17)
»й^ = #лр. (104.18)
Первое из уравнений относится к движению центра тяжести, второе — к относительному движению. Как мы видим, первое есть уравнение движения свободной частицы с массой М: центр тяжести в отсутствие внешних сил движется как свободная материальная точка. Простейшее, частное, решение уравнения (104.17) есть волна де Бройля
Ф(Х, Г, Z, *) = _* e?<?'-p*x-V-p*Z). (Ю4.19)
(zji/z) 2
Она же, как следует из (104.14), есть собственная функция оператора полного импульса Рх, Ри, Pz, принадлежащая собственным значениям Рх, Ру, Pz. Е есть собственное значение кинетической энергии движения центра тяжести системы
Е = $й(р% + р1+р1).
Длина волны К этих волн, как это следует из (104.19), так же как и для элементарной частицы, равна
К=2-Т=Ш’ P = VP'i+Pl + Pi‘ (Ю4.20)
где У —групповая скорость движения центра тяжести.
Вывод этот важен, так как особенно подчеркивает, что волны де Бройля не являются какими-то колебаниями, связанными с природой (например, структурой) частиц, а выражают в квантовой области общий закон движения свободных частиц или закон движения центра тяжести системы, не подверженной действию внешних сил.
§ 1051 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА 449
§ 105. Закон сохранения момента импульса системы микрочастиц
Пусть мы имеем систему из N частиц. Обозначим операторы
проекций момента импульса k-n частицы на оси координат через
Мх, К М:
M^-in(yk~-zk^, (105.1)
4), (Ю5.1-)
(105Л'>
где xkf ykt zk — координаты &-й частицы.
Соответственно этому операторы проекций полного момента импульса всей системы частиц Мх, Му, Мг определим по формулам
Предыдущая << 1 .. 147 148 149 150 151 152 < 153 > 154 155 156 157 158 159 .. 229 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed