Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Блохинцев Д.И. -> "Основы квантовой механики" -> 152

Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.

Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики — Наука, 1976. — 664 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovikvantovoymehaniki1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 146 147 148 149 150 151 < 152 > 153 154 155 156 157 158 .. 229 >> Следующая

442
ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
[ГЛ. XVII
щих нас операторов, можно вычислить и вероятности того или иного значения любой механической величины.
Мы будем считать, что волновая функция я|э (,vb ..., zN, t) так же, как и волновая функция одной частицы, подчиняется уравнению Шредингера
следний, в полной аналогии с классической гамильтоновой функцией для системы N частиц с массами ти ..., mk, ..., mN
где Uk(Xf<> Ук> ?k> силовая функция k-и частицы во внешнем поле, a 0kJ(xky ..., zy)—энергия взаимодействия &-й и /-й частиц, напишется в виде
Очевидно, что этот гамильтониан представляет собой простое обобщение гамильтониана для одной частицы1).
Из уравнения (102.6) следует уравнение непрерывности для вероятности w в пространстве конфигураций. Чтобы получить его, умножим (102.6) на я))* и вычтем сопряженную величину. Имея в виду значение гамильтониана (102.6'), мы получим
(102.6)
причем Н означает здесь гамильтониан для системы частиц. По-
н= 1л [ш^"гик(Хк’ lJk’ Zk' l)\ i~ Li Uki Ук’Zk’Xj> yj’ z>^
N
N
+ ^ Ukj(Xk> Ук> %k> %j> Vji */), (102.6 )
где
N
~2
Полагая
(102.7)
!) Можно было бы выписать гамильтониан при наличии магнитного поля и с учетом спина. Он равен сумме гамильтонианов отдельных частиц плюс члены, определяющие взаимодействие частиц между собой.
§ 102]
ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ЗАДАЧЕ МНОГИХ ТЕЛ
443
А А А
dxk ’ дук ' dzk
¦к—, мы можем написать
полученную формулу в виде
N
(102.8)
Это уравнение показывает, что изменение вероятности конфигурации w обусловливается потоком этой вероятности. Sk есть функция координат всех частиц (и времени) и имеет смысл плотности тока, обусловленного движением k-й частицы при заданных координатах всех остальных (N — 1) частиц. Чтобы получить плотность тока k-и частицы ]к при любом положении остальных, следует интегрировать (102.7) по всем координатам, кроме координат &-й частицы:
]k (Xk> Ukt Zk) 0 ” ^ ^k (^i> • • •» Xki Uk> %k> • • •» %Nj 0 dQk. (102.9)
Этот ток также удовлетворяет уравнению непрерывности, но уже в трехмерном пространстве. Именно, интегрируя (102.8) по dQk, мы получаем
Так как dQk (см. (102.4)) как раз содержит координаты всех частиц кроме &-й, то интегралы вида ^ div^J^ dQk можно преобразовать в поверхностные, и если гр исчезает в бесконечности, то они равны нулю. Так как, напротив, в интеграле § d\vk Jk dQk дифференцирование и интегрирование идут по различным переменным, то
Таким образом, мы получаем закон сохранения для каждой из частиц
сформулированный уже в трехмерном пространстве (xk9 yk, гк).
^ J- w (хъ zN,t) dQk —
Далее,
N N
N
2 = $divA JkdQk+ $div*'J,ydQft.
k'=\
k' -ф. k
dw (xkykZk, I) dt
Л-d\vk}k (хьУьгь, t) = 0, (102.10)
444
ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
[ГЛ. XVII
§ 103. Закон сохранения полного импульса системы микрочастиц
В классической механике, как известно, полный импульс системы частиц, находящихся под действием лишь внутренних сил, остается постоянным. При этом центр тяжести системы движется по инерции прямолинейно и равномерно. Если же имеются внешние силы, то изменение полного импульса в единицу времени равно результирующей всех внешних сил, действующих на частицы системы. Мы покажем, что эти положения классической
механики сохраняют свою силу и в квантовой области. Определим
для этой цели оператор полного импульса всех микрочастиц системы Р. Под оператором полного импульса всей системы частиц мы будем подразумевать сумму операторов импульса Pk всех частиц ?= 1, 2, ..., N:
N N
2 Pk——л 2 V*- (Ю3.1)
k=\ k=\
Вычислим оператор производной импульса Р по времени. Согласно общим формулам квантовой механики
§ = |(ЯР-ЯЯ). (103.2)
Подставляя сюда Н из (102.6') и замечая, что Р коммутирует
N
A, tfi V 1 2
с оператором кинетическои энергии частиц Г = — > — щ, мы
* = 1
получим, что
-(s V.)(i и„+ 2 1/J. (103.2')
\fc = l / = 1 k z?j = l /)
Далее, замечаем, что
Uk (s V*) - (s v*) Vk=- v*t/*. (103.3)
N
Наконец, вычислим перестановку оператора Vs и взаимной
* = 1
энергии частиц 2 Uю• При этом мы сделаем предположение, что
kizj
силы между частицами зависят лишь от взаимных расстояний между частицами rkj так, что Ukj = Ukj(rkj). Тогда на \Jkj дейст-
§ 104] ДВИЖЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ СИСТЕМЫ МИКРОЧАСТИЦ 445
N
вугат только те операторы V/г' из суммы ^ Vb для которых
k = \
k'=k или k' = /, т. е. на Ukj действует пара: + Имеем
Ukj (Sk + Vy) - (Vft + Vy) ^ *y = — ~ Vjukj> (103.4)
HO
dUkj dUkj Tf,j dUkj dUkj ?kj
V* A/ = Vftrfty = *>/' V Vy ft; = V,rfe;' = ~~d^j TK}' Следовательно,
V/г^/г/ + SjUkj = 0» (103.5)
Это есть выражение закона о действии и противодействии. Из него следует, что перестановка операторов (103.4) равна нулю.
Таким образом, получается
N
^7 = - 2 Ук’ Zk’ *)’ (103.6)
k = l
т. е. оператор производной полного импульса по времени равен оператору результирующей силы, действующей со стороны внешних полей на нашу систему.
Эта теорема является полным аналогом классической теоремы
о движении центра тяжести системы. Различие заключается лишь в том, что в квантовой механике она формулируется не для самих механических величин, а для изображающих эти величины операторов и, следовательно, для средних значений величин.
Предыдущая << 1 .. 146 147 148 149 150 151 < 152 > 153 154 155 156 157 158 .. 229 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed