Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть сфера с центром в О и радиусом г0 (рис. 79, а) есть та поверхность, на которой потенциальная энергия U (г) принимает максимальное значение, так что для r<r0i U<C.Um и для r>r0, U<cUm. Соответствующий пример графика U (г) дан на рис. 79, б. Допустим, что нас интересует прохождение через барьер частиц, первоначально находившихся внутри него. Соответственно предположению, что частицы, падающие извне, отсутствуют (нет «бомбардировки»), мы должны взять вне барьера лишь уходящие волны
ф = с —, ?>0. (99.1)
Ih
и<иш
а)
га
6)
Рис. 79. Потенциальный барьер, ограничи вающий замкнутую область (г < г0).
Это условие мы будем называть условием излучения. Ясно, что уравнение Шредингера
.4. дф
Ш - --
№
= + (99.2)
. Действительно, применим закон сохранения числа частиц к сфере
dt L'jii
в этом случае может иметь лишь нестационарные решения. Дей-
х) Они были выполнены П. И. Лукирскиад,
ТРЕХМЕРНЫП ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР
427
радиуса г:
Из (99.1) имеем и, стало быть,
nk 1 С I» рг*
(99.3)
(99.4)
(99.5)
U
•Пп
ш
т. е. среднее число частиц в объеме сферы V убывает, так что гр не может гармонически зависеть от времени.
Задачу об истечении частиц из барьера можно решать, исходя из уравнения (99.2) с начальным условием таким, что функция ур (г, 0) отлична от нуля лишь внутри барьера (чтобы выразить тот факт, что при / = 0 частица находилась внутри барьера). Можно, однако, исходить из другого условия, до некоторой степени противоположного, именно считать, что истечение частиц происходит уже давно и значительная часть их уже находится вне барьера. Такой подход к решению мы рассмотрим подробнее. Он удобен тем, что допускает разделение переменных г и t в уравнении (99.2). Положим сразу
г,
Рис. 80. Потенциальный барьер, ограничивающий замкнутую область (г < г{) и имеющий простую прямоугольную форму.
'Mr, t)=\p(r)e
Потенциальная кривая 0, rv Uт El соответствует потенциальной яме,
— получающейся из барьера отодвн-
1 . (УУ.Ь) ганием г2 в бесконечность. Я}, ?|»—-
уровни энергии в такой яме.
При этом величина Е будет комплексной, и ее"“нельзя рассматривать как энергию частиц (см. об этом ниже). Мы положим J)
Е = Е0-
itil
(99.7)
Тогда среднее число частиц в объеме V0, заключенном внутри барьера, согласно (99.6) и (99.7), будет
N (t)= ^ o])*il> dv — е и $ i|>* (г) ^ (г) dv,
Уо v„
!) Из (99.6) и (99.7) видно, что если взять X =0, то мы получили бы стационарные состояния, что противоречит, согласно (99.5), условию излучения.
428 ПРОХОЖДЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР [ГЛ. XVI
т. е.
N(f)=e-HN( 0). (99.8)
Величину Я будем называть константой распада. Подста-
новка (99.6) в (99.2) дает
- ~ + U(r) у = (?0 - Щ Ф- (99.9)
Чтобы выяснить принципиальную сторону дела, мы рассмотрим
схематичный пример, взяв форму барьера U (г), изображенную на рис. 80. Рассмотрим далее, для простоты, состояния с орбитальным моментом, равным нулю: / = 0. Тогда, полагая
Ф(»’)=?^-, (99Л0)
мы получим из (99.9)
-^^+ими,={Е*-Щи- ("-11)
Согласно нашему предположению о виде U (г) уравнение (99.11) разобьется на три:
u" + k2u = 0 (0 <r<rx), (99.12)
u" — q2u = 0 (г1</'<г2), (99.12')
u" + k2u = 0 (r2<r), (99.12")
где
k2 = ? (е0 —Щ, д2 = ^([/т-Е0+Щ. (99.13)
Решения этих уравнений имеют вид
Ul = A'eiltr + Beikr (0 <r<r1), (99.14)
un = at*r+p<r«r (r1<r<r2), (99.14')
U\w = aeikr -f- be~ikr (r2 < r). (99.14")
Из условия конечности ip в нуле следует, что
А' = — В, Ui = Asmkr. (99.15)
Кроме того, условие излучения дает 6 = 0 (только уходящие волны). Краевые условия на границах г = гг и г — г2, как мы установили в § 96, сводятся к равенству функций и их первых производных
Л sin kr± = aeqri + f5e~vr‘, (99.16)
kA cos krL = q (aeqr1 — §e-‘>r'-) для r = rlt (99.16')
ae‘,r‘ -)- $e~qr‘ — aeikr--, (99.17)
q (ae^*— $е-чГг)— ikaeikr‘ для r = r2. (99.17')
ТРЕХЛ\ЕРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР
429
На этот раз мы имеем четыре однородных уравнения для четырех коэффициентов Л, а, (3, а. Поэтому необходимо, чтобы определитель Д системы уравнений (99.16) и (99.17) обращался в нуль. Несложные вычисления дают
где / означает ширину барьера r2 — ri. (99.18) есть трансцендентное уравнение для k. Определим его корни приближенно, считая <?/> 1. Тогда в нулевом приближении можно отбросить член с е q\ и мы получаем
Это —точное уравнение для нахождения собственных значений потенциальной ямы (0, гъ Um), изображенной на рис. 80 и получаемой из потенциального барьера рис. 80 при г2^ оо. В такой потенциальной яме имеются дискретные уровни энергии (для E<Um). Если корни уравнения (99.19) обозначить через koli
&02, •••> &o/i> •••> то энергия этих уровней будет (согласно (99.13)) равна
Корни действительны1), если А, = 0, и по порядку величины
конечной ширине барьера асимптотическое поведение потенциальной энергии таково, что U (/*),-_>аэ < ?, и вместо дискретного спектра (99.20) мы получаем непрерывный. Однако условие излучения выбирает из непрерывного спектра уровни, близкие к Е0п, но они не будут теперь стационарными (Хп^0). При малых Хп они будут почти стационарными. Это — квазистационарные уровни, упоминавшиеся в § 67. Определим величину Хп, считая ее малой. Для этого разложим член с cql в (99.18) по степеням к — k0y где k0 — ojwu из корней уравнения (99.19) для стационарных состояний потенциальной ямы, а в член с e~ql подставим k = замечая, что
