Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы удалить электрон из металла, необходимо затратить
некоторую работу. Следовательно, потенциальная энергия электрона в металле меньше, нежели вне металла. Наиболее простым образом этот факт может быть выражен, если мы примем потенциальную энергию электрона U (х) внутри металла равной О, а вне металла равной С>0, так что потенциальная энергия имеет вид, изображенный на рис. 78. Схематизируя таким образом истинный ход потенциальной энергии, мы в сущности оперируем со средним полем в металле. На самом деле, потенциал внутри
424 ПРОХОЖДЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР [ГЛ. XVI
металла меняется от точки к точке с периодом, равным постоянной кристаллической решетки. Наше приближение соответствует гипотезе свободных электронов, так как, поскольку U(x) = О, внутри металла нет никаких сил, действующих на электрон.
Здесь мы не можем обсуждать вопрос о степени правильности такого приближения1). Ограничимся лишь указанием на то, что рассмотрение электронов в металле как свободно движущихся частиц («электронный газ») позволяет уяснить многие явления в металлах и поэтому, в определенных рамках, является законным. Распределение по энергиям электронов этого газа таково, что подавляющее большинство электронов имеет энергию Е <С (при абсолютном нуле температуры электроны заполняют все уровни энергии от ? = 0 до ?’^е0<С, где е0 есть так называемая нулевая энергия; см. § 120). Поток электронов металла, падающий изнутри металла на его поверхность, обозначим через J0. Так как электроны имеют энергию Е<.Су то этот поток полностью отражается от скачка потенциала С, имеющего место на границе металл — вакуум.
Представим теперь себе, что наложено электрическое поле Ш, направленное к поверхности металла. Тогда к потенциальной энергии электрона U (х) (рис. 78) добавится потенциальная энергия электрона в постоянном поле 8, равная — еШх (заряд электрона равен— в). Полная потенциальная энергия электрона будет теперь равна
U' (x) = U(x)-e$x = C-e8x(x> 0), )
U'(x) = 0 (*<0). } { ’
Кривая потенциальной энергии примет теперь иной вид. Она изображена на рис. 78 пунктиром. Заметим, что внутри металла нельзя создать большого поля, поэтому изменение U (*) произойдет лишь вне металла.
Мы видим, что образуется потенциальный барьер. По классической механике электрон мог бы пройти через барьер лишь в том случае, если его энергия Е>С. Таких электронов у нас очень мало (они обусловливают малую термоионную эмиссию). Поэтому никакого электронного тока по классической механике при наложении поля получиться не должно. Однако, если поле & достаточно велико, то барьер будет узок, мы будем иметь дело с резким изменением потенциальной энергии и классическая механика будет неприменима: электроны будут проходить через потенциальный барьер2).
2) См., например, А. А. Абрикосов, Введение в теорию нормальных металлов, «Наука», 1972.
2) Если поле понизит высоту барьера, так что она станет меньше е0, то же самое будет иметь место и по классической механике. Но это будет колоссальный ток: электроны хлынут лавиной через барьер. На самом деле имеет место постепенное нарастание тока с ростом поля.
§ 98] ХОЛОДНАЯ ЭМИССИЯ ЭЛЕКТРОНОВ ИЗ МЕТАЛЛА 425
Вычислим коэффициент прозрачности этого барьера для электронов, имеющих энергию движения по оси ОХ, равную Ех. Согласно (96.24) дело сводится к вычислению интеграла
*2
S = \ /2li[U'(x)-Ex]dx,
*1
где хг и х2 — координаты точек поворота. Первая точка поворота есть (см. рис. 78), очевидно, дгх = 0, так как для всякой энергии ЕХ<С горизонтальная прямая Еху изображающая значение энергии движения по ОХ, пересекает кривую потенциальной энергии в точке лг = 0. Вторая точка поворота х2 получится, как видно из чертежа, при
ЕХ = С — е%х\
отсюда
С — Е„
*2 =
еШ
следовательно,
С — Е
___ X
её
S = \ V2\i[C-eSx-Ex]dx. (98.2)
о
Введем переменную интегрирования | = 7. е^.~ х. Тогда мы
С пх
получим
s=v %{С $ vr-i <ц=I (С ~Jx)- • (98.3)
Таким образом, коэффициент прозрачности D для электронов, обладающих энергией движения по оси ОХ, равной Ех, равен
4 ущ (c-Exf.
D(?*) = D0<? 3 Л . (98.4)
Коэффициент этот несколько различен для разных Ех, но так как С>ЕХ, то средний (по энергиям электронов) коэффициент прозрачности будет иметь вид
426 ПРОХОЖДЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР [ГЛ. XVI
где D0 и ё0 — константы, зависящие от рода металлов. Ток холодной эмиссии будет равен
_So
J (&) = J0D = Ae % . (98.6)
Эта зависимость тока от поля вполне подтверждается экспериментами г).
§ 99. Трехмерный потенциальный барьер.
Квазистационарные состояния
Рассмотрение в §§ 97 и 98 задачи о прохождении через потенциальный барьер отличалось той особенностью, что в них речь шла о потоке частиц, приходящих из бесконечности и встречающих на своем пути потенциальный барьер. В дальнейшем (теория радиоактивного распада, автоионизация атомов) нам встретятся
такие случаи, когда речь U будет идти о потоке ча-
стиц, выходящих из некоторой ограниченной области пространства (ядро атома, атом), окруженной потенциальным барьером.
