Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
В дальнейшем мы рассмотрим различные специальные случаи возмущений и систем.
§ 84. Вероятности переходов под влиянием возмущения, зависящего от времени
Определим теперь вероятность перехода системы из квантового уровня Еп в Ет под действием возмущения W (.х, /), зависящего от времени. Допустим, что возмущение равно нулю для /<0 и для t>T. Считая, что Wmn(t) столь малы, что первое приближение пригодно и для t = T9 мы получаем из (83.9) амплитуду c!tln (t) для i^T в виде
Т +оо
wmn (т) dx = 1 J Wmn (т)dx, тфп. (84.1)
О — оо
(Заметим, что с'т для t > Т от времени не зависят, так как энергия есть интеграл движения.)
Полученное выражение для c'm (t) имеет простое значение. В самом деле, возмущение W (х, t) может быть разложено в интеграл Фурье
-f- ОО
W(x, t) = $ W{x, u>)e-md(o. (84.2)
— OO
Отсюда по теореме Фурье получаем
-f °°
W (x, a) = ~ J W {x, t) em dt. (84.3)
— oo
Матричный элемент возмущения (83.4) на основании (84.2) может быть написан в виде
Wmn (t) = $ i|4 (х) W (х, t) ij?„ (x) dx =
-j- oo -f oo + oo
= ^ emt da $ г|i%i(x)W(x, a>) % (x) dx$ eMWmn(u>)d(i), (84.4)
— oo — OO — CO
§ 84] ПЕРЕХОДЫ ПРИ ВОЗМУЩЕНИЯХ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ВРЕМЕНИ 363
где Wmn (со) есть матричный элемент компоненты Фурье частоты и. Применяя к (84.4) теорему Фурье, находим
+ 00
WmnH = ~ § Wmn(t)e“*dt. (84.5)
— ОО
Сравнивая это с интегралом в (84.1), мы видим, что
c%=~Wmn (com„). (84.6)
При этом наше приближение законно, если с(т мало (это — необходимое условие, так как с[т (0) = 0). Согласно (83.6) и (84.6) вероятность перехода из состояния Еп в состояние Ет будет равна
Pmn = %\Wmn(®mn)?. (84.7)
Эта формула содержит важный результат. Как мы видим, Ртп Ф О только тогда, когда Wmn ((йтп) Ф 0, т. е. переход из уровня Еп
в уровень Ет возможен лишь в том случае, когда в спектре воз-
? ___ ?
мущения содержится частота сотп = -т-^—Иными словами, переход носит резонансный характер. Положение выглядит так, как если бы квантовая система являлась совокупностью осцилляторов с собственными частотами, равными частотам Бора сотл. При действии внешнего переменного воздействия возбуждаются только те осцилляторы, частоты которых совпадают с частотами, присутствующими во внешнем воздействии. Ниже мы приведем важные приложения формулы (84.7) к оптическим вопросам.
Формула (84.7) выведена для переходов в дискретном спектре. Для переходов в непрерывном спектре она должна быть несколько видоизменена. Рассмотрим необходимые видоизменения для переходов из дискретного спектра в непрерывный, считая, что система имеет и тот и другой спектр (таков, например, спектр атомов).
Состояния непрерывного спектра характеризуются непрерывными параметрами. Мы обозначим их через а, р, у. (В качестве таковых могут быть, например, три компоненты импульса частицы Рх, Ру, Pz•) Пока будем явно писать лишь один из этих параметров и обозначим его через а. Энергия будет функцией этих параметров Е = Е (а). Соответствующей волновой функцией будет ^(х). Тогда в (83.2) наряду с суммой по состояниям дискретного спектра появится еще интеграл по состояниям непрерывного спектра (интеграл по а)
364 ТЕОРИЯ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ [ГЛ. XIV
Считая, что функции 'фа (л:) нормированы к б (а—а') и повторяя выкладки, ведущие от (83.1) к (83.8), мы найдем, что
t Е (а) — Еп
= Ш $ W е*~~Л ' dx' (84-9)
о
если система первоначально находилась в состоянии Еп, причем
Wan (0 = J *2 (х) W (х, t) г|>„ (х) dx. (84.10)
Дальнейшие расчеты зависят от предположений о характере зависимости W (х, t) от времени. Мы предположим, что оно моно-хроматично (при переходах в дискретном спектре обязательно нужно учитывать немонохроматичность реальных возмущений, в случае же переходов в непрерывный спектр это не обязательно и реальное возмущение можно считать монохроматическим). Итак, будем считать, что
W (х, t) = W (х) еш + W*(х) е~ш. (84.11)
Тогда
Wan (0 = Wane^ + Wifi-™, (84.12)
где Wan и Wan суть матричные элементы компонент Фурье от W (х, t). Подставляя (84.12) в (84.9) и интегрируя по времени, мы находим
{[?<*>-?„ +«сор Jr[E(a)-En-na]t
^><i> — _ П7 ?________________Hl_L —U72 -____________________~
“ “ ih i 'in ап i
±1Е(а)-Еп + Пъ>] ^[?(о)-?л-М
Так как <а>0, Е(а)>0, ?„< 0, то первый член мал; второй член велик’для Е (а) = Еп + На>. Поэтому мы ограничиваемся вторым членом и получаем для вероятности перехода из Еп в интервал а, а-J-da к моменту времени t:
| са |2 da ¦¦ |Гал!2
2
da. (84.13)
Вероятность же перехода из Еп в а, а + da в 1 сек равна
,.п [?(a)-?,-toI<
P.,da = i^da~^ Г„,|«...........................da. (84.14)
Последний множитель в (84.14) для больших t отличается от б-функции только множителем я. Поэтому вероятность Panda
§841 ПЕРЕХОДЫ ПРИ ВОЗМУЩЕНИЯХ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ВРЕМЕНИ 365
можно написать в виде
Рп (a) da = 2~-\ Wan |2 б [? (а) - Еп - Па>] da. (84.15)
Если состояние непрерывного спектра характеризуется несколькими параметрами а, р, у, то подобным же образом получим для вероятности перехода из состояния Еп в область а, а + da; р, P + dP; у, V + dy в 1 сек:
Рп(а, р, y)dad$dy =
