Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом понятие о квантовом переходе обязательно предполагает помимо фиксирования начального состояния (п) также фиксирование и окончательного состояния (т). Мы подчеркиваем последнее обстоятельство по той причине, что это фиксирование меняет состояние систем ансамбля. Такое фиксирование будет происходить при всех взаимодействиях, селективных по отношению к признаку L, т. е. производящих спектральное разложение ансамбля tyn(x, t) по ^m(*), в частности, при измерениях величины L.
Обращаемся теперь к разъяснению понятия вероятности перехода из состояния п в состояние т. Согласно общей теории (§ 22) величина Ртп (t) = | стп (t) |2 есть вероятность найти L = Lm в состоянии tyn(x> t) (см. схему)1). Так как при ^ = 0 Ртп (0) равно нулю, если тфп (для т = п, Ртп (0) = 1), то вероятность Ртп (t) (т Ф п) называют вероятностью перехода из состояния у\>п{х) с L = Ln в состояние урт(х) с L = Lm за время t. Действительно, при т^п Pmn{t) дает вероятность найти в момент t значение L = Lm, которого при / = 0 в нашем ансамбле не существовало, ибо Ртп (0) = 0. Наиболее
х) Дополнительный значок п у стп указывает на начальное состояние. В § 22 такого указания не давалось.
360
ТЕОРИЯ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ
[ГЛ. XIV
важными задачами из теории квантовых переходов являются задачи на вычисление вероятности перехода из состояния с одной энергией Еп в состояние с другой энергией Ет или, как говорят, вероятности перехода с одного квантового уровня на другой. В связи с этим заметим, что если частица (или в общем случае система) находится под действием зависящего от времени внешнего поля, то понятие потенциальной энергии, а вместе с тем и полной энергии лишено смысла (это не относится к кинетической энергии). Поэтому в общем случае вопрос о переходе частицы с одного квантового уровня на другой получает смысл ^ лишь тогда, когда причина, вызывающая переход, действует в течение конечного промежутка времени, скажем, от / = 0 до t = T. Вне этого промежутка полная энергия является интегралом движения и может быть определена путем надлежащих измерений (см. §§111 и 112). Решение уравнения Шредингера, определяющего t) по г|? (дг, 0), представляет большие трудности. Результаты, имеющие общее значение, могут быть получены лишь в тех случаях, когда переходы с одного уровня на другой вызываются слабыми воздействиями, так что эти воздействия можно рассматривать как возмущение.
При этом условии уравнение Шредингера может быть написано в виде
ih^ = HQ(x)^ + W(x, 0Ф, (83.1)
где Н°(х) естЬ оператор полной энергии системы в отсутствие возмущения, a № (х, t) — возмущение. При малом возмущении оператор Н° (дг) можно рассматривать как оператор полной энергии, и поэтому в этом специальном случае включение и выключение И/ (х, t) имеют второстепенное значение.
Для нахождения вероятности перехода Ртп(1) с уровня Еп на уровень Ет обратимся к представлению взаимодействия (см. § 45). В этом представлении решение уравнения (83.1) ищется, согласно
(45.6), в виде
(х, t) = е п ^о/Ф (дг, t). (83.2)
В дальнейшем удобно перейти от «^-представления к энергетическому «^-представлению. Для этого разложим искомую функцию Ф (дг, t) в ряд по собственным функциям i|)* (х) оператора Н0:
Ф(*> 0 = (*)•
k
Подставим это разложение и формулу (83.2) в уравнение
(83.1). Умножая результат слева на if,* (х) и интегрируя по дг, получим уравнение Шредингера в представлении взаимодействия,
§ 831 ПОСТАНОВКА ВОПРОСА 361
записанное в энергетической переменной
ih dcио = 2 wmk (0 ешп,ь1ск (0. (83.3)
k
__ jf_ ^ ^ __ ^ ^
Здесь принято во внимание, что е л -ф* (лг) = е ft * я(7* (лг). Величина
Vmk = Wmk (t) ^ г|>* (*) # (дг, t) ф* (х) Лг (83.4)
есть матричный элемент энергии возмущения W (дс, t) в представ-
? __ ?
лении взаимодействия, a comft = —^— боровская частота перехода Em-+Ek. В начальный момент предполагается, что система находится в состоянии Е — Еп. Следовательно, при t — 0
cft(0) = l, если k — n, и с*(0) = 0, если k^ti. (83.5)
Вероятность найти систему в состоянии Е = Ет в момент времени х) t равна | ст (t) |2. Поэтому вероятность перехода из Еп в Ет к моменту t равна
Pmn{t) = \cm(t)\\ (83.6)
Таким образом, дело сводится к определению величин ck(t) из уравнений (83.3) с начальными данными (83.5).
Мы будем рассматривать W (х, t) как малое возмущение. Для решения уравнения (83.3) заметим, что если совсем игнорировать W, то величины ск (() будут постоянными. Поэтому в качестве нулевого приближения для с% (t) можно взять их начальное значение (83.5)
c%{t) = bnk. (83.7)
«Подставляя эти значения в правую часть (83.3), мы найдем уравнение для первого приближения dm (0:
dcn) (t)
т^ж1=2 Wmk (° еШтк‘с1=Wmn (t) e‘'°w- (83-8)
k
Отсюда
t
<0 5 Wmn (t) dx + bmn. (83.9)
0
Подставляя это первое приближение для dm (t) в правую часть (83.3), мы найдем уравнение для второго приближения:
=2 Wmk {t) еШтк<с*(i)' (83'10)
_ _______________ k
!) См. § 22.
362
ТЕОРИЯ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ
[ГЛ. XIV
Так как с(/}} (t) суть опять известные функции времени (83.9), то, интегрируя (83.10) по времени, мы найдем с(т (t), т. е. второе приближение. Эту процедуру можно продолжать и дальше, и она ведет к точному решению для cm(t). Однако, вообще говоря, придется брать много приближений или ограничиваться малыми отрезками времени /. Если же W (х, t) мало, то достаточно ограничиться первым или вторым приближением.
