Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Асимптотическое разложение этой функции известно2) и имеет
вид
1 ^
,F, (— к I ikt) = —-----(1 _ eri1,1 _
1 rty ig, 1, t#ey г (1 +t|) V iKJ
л|
‘e_______ e'k^ O— ('i In кI I /00
Здесь Г (г) есть гамма-функция. Выбирая теперь ^(г, б) в виде
ф (г, 0) = Г * Л?Г (1 + il) e^1F1 (- il, 1, ikQ, (82.6)
где
f z — f (l cos6) (82.7)
x) См. Э. Т. Уиттекер и Дж. H. Ватсон, Курс современного анализа Физматгиз, 1963, т. II, гл. 16.
2) Н. Мотт, Г. Me с с и, Теория атомных столкновений, «Мир», 1969, стр. 59,
356
ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ
1ГЛ. XII!
и v = p/f-t — скорость частицы, получим из (82.6) с помощью (82.5) для г, С-»-со:
1|>(/-, 0)л, t^co = I + A(Q)S, (82.8)
где
! = {l~W(f-W + ’' )eikz + i%Xnk{r~z\ (82.9)
Sz=l_eikr-ii\nkr (82.9')
И
Л (6) = —^cosec2 | g-i[l'no-cosе)-л-2ло!> (82.9")
где e2ir*= p (1 • Сравнение этих формул с обычными форму-
лами теории рассеяния показывает, что и падающая волна eikz и
eikr
рассеянная волна ------ искажены логарифмическими множителями
ei\ \ nk (г z) и e-ii\nkrt Это особенность кулоновского поля, которое медленно убывает с расстоянием, и поэтому при сколь угодно больших расстояниях искажает волны. Поэтому решений в виде плоских или обыкновенных сферических волн в кулоновском поле вообще не существует. Эффективное дифференциальное сечение о (б) на угол б равно | А (б) |2:
а (0)='iprcosec41 (82 •10)
совпадает с ранее вычисленным методом Борна (ср. (79.19)). Однако амплитуды Л (б) (79.12) и (82.9") отличаются фазой.
Отличие будет невелико, если g = —^-'L <! 1. Это есть условие
применимости метода Борна в рассматриваемой задаче.
Таким образом, мы доказали, что классическая формула Резерфорда для рассеяния частиц в кулоновском поле строго следует из квантовой механики, без каких-либо поправок.
Однако следует отметить, что для рассеяния тождественных частиц, например, а-частиц на ядрах гелия или протонов на ядре водорода и т. п., наступают существенные отклонения от классической формулы Резерфорда, связанные с особыми квантовомеханическими требованиями к симметрии волновой, функции для тождественных частиц. Теория рассеяния тождественных частиц изложена в § 134. В заключение этого раздела приведем выражение для матрицы рассеяния S (k, /) в случае кулоновского рассеяния. Для этого нужно представить А (б) (82.9") в виде
§ 821 РАССЕЯНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ 357
ряда по полиномам Лежандра (80.15). Пользуясь ортогональностью этих полиномов, будем иметь
e2i4 (k) — j __ ik ^ А (в) Р[ (cos е) sin е (82.11) о
Весьма громоздкое вычисление, которое мы опускаем, приводит к результату
S[k, (82.,2)
где Г — гамма-функция.
e2Z Z
Чтобы перейти к случаю притяжения U(r) = — —, во всех полученных выше формулах следует заменить g на —
Глава XIV
ТЕОРИЯ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ
§ 83. Постановка вопроса
Одной из важнейших задач квантовой механики является вычисление вероятности перехода из одного квантового состояния в другое. Эта задача может быть обрисована следующим образом. Пусть в момент времени t = О мы имеем чистый ансамбль систем, характеризуемый тем, что какая-либо механическая величина L имеет определенное значение L = Ln. Такой ансамбль будет описываться волновой функцией (х), являющейся собственной функцией оператора L и принадлежащей собственному значению L = = Ьп1). Про системы такого ансамбля говорят, что они находятся в квантовом состоянии п.
С течением времени, благодаря действию внешних полей или в силу внутренних причин, состояние систем может измениться.
В результате к моменту времени t наш ансамбль будет описываться уже некоторой новой волновой функцией, которую мы обозначим через tyn(x, t). Этот новый ансамбль, возникший из прежнего, вообще говоря, будет ансамблем с неопределенным значением величины L2).
Если теперь подвергнуть системы, принадлежащие этому ансамблю сортировке по величине L, т. е. выполнить спектральное разложение по признаку L, то получится новый ансамбль (смешанный, ср. § 17). При этом часть систем будет иметь L = Lm и образовывать чистый ансамбль, описываемый волновой функцией ^т(х) [Ltym (х) = Lmtym (х)], другая часть систем будет иметь L = Lmf и будет образовывать чистый ансамбль грт'(^) и т. д.
г) В общем случае состояние может характеризоваться не одной, а несколькими механическими величинами L, М, N, ... Соответственно этому число индексов у волновой функции будет больше п s...
2) Исключение представляет случай, когда* L есть интеграл движения. . Ent
Тогда tyn(xy t) — tyn(x)e ив состоянии я|)Л (лг, /) опять имеется единствен-
ное значение L = Ln.
ПОСТАНОВКА ВОПРОСА
359
О системах, которые оказались принадлежащими ансамблю с L = Lm (тфп), говорят, что они совершили квантовый переход из квантового состояния п в квантовое состояние т.
Сказанное может быть иллюстрировано схемой:
” tym (-К)» L — Lm * фт' (*), L = Ьщ'
»Цт"(х), L = Lm"
t^O t
(х) (х, /) = 2 (О (*) <
пг
L = Ln L неопределенно
На этой схеме сплошной стрелкой показано изменение ансамбля, происходящее само по себе, без вмешательства измерения, т. е. без осуществления спектрального разложения по признаку L. Это изменение ансамбля может быть найдено из уравнения Шредингера. На схеме показано, что это новое состояние ансамбля представляет собой суперпозицию состояний с различными значениями L (сумма по т). Пунктирными стрелками показаны изменения ансамбля, возникающие при реализации спектрального разложения ансамбля в момент t. Как мы знаем (ср. § 17) такое разложение происходит, в частности, при измерении. Иными словами, пунктирной стрелкой изображена «редукция пакета» (ср. § 17), при которой суперпозиция ^„(л:, /) превращается в одно из частных состояний (х). Только после этой редукции и можно говорить о квантовом переходе из состояния L = Ln в состояние, скажем, L = Lm.
