Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Воспользовавшись опять сферической симметрией задачи, нетрудно преобразовать (36.22) к виду
оо
% = [n(r)-l] у==- (81.24)
Р
Таким образом, эйкональное приближение (§36) может быть применено для вычисления фаз парциальных волн в оптической модели частицы.
В. Резонансное рассеяние
При взаимодействии сложных систем с частицами могут наблюдаться резонансные явления, т. е. при определенной энергии частицы Е^ЕГ наблюдается иногда огромный рост сечения.
Подобное положение является, например, весьма типичным для взаимодействия нейтронов с ядрами (ср. рис. 4).
Рассмотрим в качестве важного примера резонанс в s-состоянии. В этом случае волновая функция может быть написана в виде
p-ikr pi k г
% V’ <81-25)
где S0— элемент матрицы рассеяния для / = 0/Ясно, что в случае резонанса S0 сильно меняется в зависимости от k (от энергии частицы). Оказывается, что можно выразить S0 через величины, мало меняющиеся вблизи резонанса. Для этого выразим S0 через логарифмическую производную от волновой функции на поверхности системы (иапример, ядра), т. е. при r — R. Предполагается, что для r>R взаимодействие уже практически отсут-
§ 81] ОБЩИЙ СЛУЧАЙ РАССЕЯНИЯ. ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ 353
ствует. Поэтому производная может быть вычислена с помощью асимптотической функции ^(г), с другой стороны, она определяется внутренними свойствами системы. Поэтому
dr
'•'(’о (г)
/•=«
¦R
1 4-
¦ix + ° . =/(?), (81.26)
1 — /v ’ ' '
где слева написана логарифмическая производная от функции г%(г), х = kR, а / (Е) — значение этой производной как функции энергии, выраженное через внутренние параметры системы (например, атомного ядра). Отсюда
(x — h) — if0
So — ’
-2 ix
(х -f-h) + i/o 1
(81.27)
где положено / (E) = /„ (E) — ih (E). Если при некотором значении Е — Ег, /о (Er) — 0, то наступает резонанс. Действительно, в этой области значений мы можем положить
/о (Е) = ЩЕ=Ег(Е-Ег), h(E) = h{Er).
(81.28)
Вводя обозначения
Г = -Г'=-
2kR
Ёк\
dEJE = Er
2А (Ег)
(81.29)
найдем, что S0 равно
S0 = — e2ikR ¦ ¦
(3l)
\ dE )E = Er
(81.30)
— у + И + »(?—?,)
Подставляя в формулы для упругого сечения oel — oeJ = — 11 — S012 и неупругого а'п — <т"* = {1 — 15012}, получаем
ТТе
et _Л_ к*
№ (Е-Ег)2+Т*/4 > Те
Е-Ег +
;г
- 2eikR sin kR
(81.31)
(81.32)
В этих формулах Г = Гг -f Р есть полная полуширина резо-
354
ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ
[ГЛ. XIII
нанса (при | Е — Ег | == Г/2 сечение падает в два раза). Величину Ге называют частичной полушириной упругого рассеяния, Тг — частичной полушириной реакции (неупругого рассеяния). Амплитуда упругого рассеяния складываегся из двух
членов: резонансного рассеяния ^член, обратно пропорциональный (^Е — Ег + ^~^1 и потенциального рассеяния
(член, пропорциональный sin kR). Эта часть рассеяния не зависит от внутренних параметров ядра, а только от его размеров R и от энергии частицы.
Формулы (81.31) и (81.32) были выведены впервые Брейтом и Вигнером и описывают рассеяние вблизи резонанса. Они аналогичны известным из оптики формулам для рассеяния вблизи резонансной спектральной линии.
На рис. 4 были приведены резонансы в сечении для взаимодействия нейтронов с ядром кислорода. Каждый из показанных там максимумов, если вблизи нет соседних, может быть удовлетворительно описан формулами Брейта — Вигнера.
Заметим, что резонанс является типично квантовым явлением. Как видно из формул, при Е = ЕГ полное сечение
может принимать огромные значения ~Я2(Гв ~Г), во много раз превосходящие размеры сферы действия ядерных сил (~л#2).
Например, резонанс в поглощении Хе1^5 тепловых нейтронов имеет сечение, площадь которого в 100 ООО раз превосходит площадь геометрического сечения ядра Xe|.f. Этот резонанс имеет большое практическое значение в эксплуатации ядерных реакторов.
§ 82. Рассеяние заряженной частицы в кулоновском поле
В § 50 было изучено движение заряженной частицы в кулоновском поле. Однако тогда мы интересовались связанными состояниями (?< 0) и не рассматривали случая (?>0), который осуществляется при рассеянии частиц.
Следуя методике § 50, мы могли бы также найти радиальные
функции R[ (р) = / — орбитальное число^ и для случая
Е> 0.
Однако в случае рассеяния нам пришлось бы искать сложную линейную комбинацию этих функций, чтобы получить асимптотическое решение типа (80.5). Поэтому в задаче рассеялия более целесообразно избрать более прямой и более адекватный задаче метод.
§ 821 РАССЕЯНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ 355
Для этого мы будем исходить из уравнения (49.2) с неразделенными переменными и положим там U (г) = ( где eZi и
eZ2 — заряды частиц, а г —расстояние между ними.
Обозначим теперь k2 — ^r, Р ~ , перепишем уравне-
ние (49.2) в виде
V2i|) + (A2-l)ij) = 0. (82.1)
Будем искать решение if в виде
ty = eik*F(r-z). (82.2)
Тогда легко убедиться, что для функции F получится уравнение
tw+ж'(1 “ т - i pF='°» «ВД
где — r — Представляя F (?) в виде ряда
F (С) = (1 + ¦+ aj? +...), (82.4)
мы убедимся, обычным путем, что у2 = 0 и, следовательно, F (?) регулярна в нуле.
Далее, можно с помощью рекуррентных формул вычислить коэффициенты ряда (82.4). Оказывается, что F (?) = iFx (— й-, 1, ikQ (g = p/2/?) есть функция, связанная с так называемой конфлюэнтной гипергеометрической функцией Уиттекера1).
