Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
оо
Л W = Ж S (2/ +1} ^ ~l)J° т dl ~
0
оо
J (e2l1ii-l)J0(Bl)ldt. (81.16)
о
*) Впервые дисперсионные соотношения были получены К р о н и г о м (1926) в оптике. В теории рассеяния частиц они стали применяться со времени работы М. Л. Голдбергера (1955). Строгое доказательство дисперсионных соотношений было дано Н. Н. Боголюбовым (1956).
2) Доказательство этого равенства см. Э. Т. Уиттекер и Дж. Н. Ватсон, Курс современного анализа, т. II, Физмаггиз, 1963, стр. 206.
350
ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИИ
[ГЛ. хп,
Рассмотрим случай, когда рассеяние частиц вызвано их поглощением. Тогда фазы рассеянных еолн т]г чисто мнимые, так что (см. (81.1)). Чисто мнимой является и амплитуда Л (0):
со
А (0) = 4- $ 0-e~^l)Jo(0l)ldl.
о
Такое рассеяние называют дифракционным. Особенно простой случай реализуется, когда поглощение внутри сферы взаимодействия полное, т. е. рассеяние происходит на черном, абсолютно поглощающем шарике радиуса R. В этом случае р/ = оо для /<?Л и (5/ = 0 для /> /^.Интегрирование в (81.16) теперь выполняется в конечном виде
Rk
А (в) = 4- $ Jо т ldl-~-J1 (ЯШ), (81.17)
о
где Ji (г) — функция Бесселя первого порядка. Стало быть, сечение рассеяния равно
D2
а{Щ = -%-Г\№Щ, (81.18)
В функции от угла 9 оно лмеет вид кривой с резким максимумом при 6 = 0 и слабыми минимумами и максимумами вдали от 0.
В более общем случае дифракционного рассеяния, зная из опыта сечение а (6), можно получить информацию о распределении коэффициента поглощения у (г) в окрестности поглощающего центра. Действительно, поскольку амплитуда А (0) теперь чисто мнимая величина, то Л(О) = г^ст(0) и она может быть найдена из измерений рассеяния. Формула (81.16), на основании известного свой-
ства ортогональности функций Бесселя нулевого порядка
СО
§ J0(ax)J0(bx)xdx = 6(a — b), (81.19)
о
допускает обращение. Умножим равенство (81.16) на J0(Bl')y где /' — некоторое фиксированное значение числа /, и проинтегрируем результат по 0dO от 0 до оо (это допустимо, поскольку в возникающем интеграле существенны лишь малые углы 0). Воспользуемся далее формулой (81.19), положив в ней х = В, а = 1, Ь = Г. Тогда получим (опуская в результате штрих у числа /):
/-> со оо______
1 _ е- Щ = -Г- $ А (0) J0 (01) О dO = к \ Vo (6) J0 (0/) 0 dQ. (81.20)
о о
На рис. 69 показан путь частицы внутри сферы взаимодействия. Если коэффициент поглощения частиц в функции расстояния г
§ 811 ОБЩИЙ СЛУЧАЙ РАССЕЯНИЯ. ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ 351
от центра есть у(г)> то
4- °°
2(3,= ^ y(r)dx, (81.21)
— СО
где интеграл взят по прямолинейному пути при заданном /, т. е. при заданном параметре удара р^Д1). Интеграл (81.21) легко преобразуется к виду
P.= fvM-j7=p, Р = ». (81-22)
Р
Зная из опыта рь можно численными методами найти коэффициент поглощения частиц у (г).
Дифракционное рассеяние наблюдается в случаях, когда имеется сильное неупругое взаимодействие, а длина волны рассеивающихся частиц мала в сравнении с радиусом взаимодействия.
Дифракционное рассеяние наблюдается, например, при рассеянии нейтронов на ядрах атомов при условии где R —
радиус ядра (/? = г0 • г0 =
= 1,2 • 10~13 сму А — атомный вес ядра). При параметре удара р < R нейтрон «запутывается» в ядре, которое является, таким образом, для него черным телом.
Дифракционная картина имеет место также при рассеянии пионов на нуклонах (ср. рис. 13). При достаточно большой энергии пионов преобладает неупругое рассеяние, при котором пионы теряют свою энергию, порождая новые пионы. Картина упругого рассеяния в этом случае близка к картине дифракции на черном шарике. К лучшему согласию с опытными данными приводит чисто мнимый гауссовский потенциал
г2
U(r) = iaEe~ (81.23)
Здесь Е — энергия пиона, а— некоторый численный коэффициент, « — радиус нуклона (а^^ 1,2* 10 13 см)2),
х) Прямолинейный путь можно использовать, поскольку дифракционное рассеяние сосредоточено в области малых углов.
2) Д. Блохинцев (1961). Опыты, произведенные в последние годы на ускорителе в Серпухове» показывают медленный (логарифмический) рост радиуса а с ростом энергии пиона. Теория упругого рассеяния получила существенное развитие в работе А. А. Логунова и А. Н. Тавхелидзе, которые ввели понятие «квазипотенциала», пригодного в релятивистской области (1963).
Рис 69. Пионные лучи внутри нуклона.
При вычислении изменения фазы луча А'В' интегрирование идет вдоль АВ при задан-ном параметре удара р.
352
ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ
(ГЛ. XIII
Б. Эйкональное приближение
До сих пор мы ограничивались рассеянием, которое вызвано поглощением рассеиваемых частиц. Более общий случай рассеяния можно описать с помощью комплексного потенциала
U{r)=U1{r) + iU2 (г)у
где иъ U2 — действительные функции переменной г. В соответствии с формулой (36.20) это означает, что мы рассматриваем частицу, вызывающую рассеяние, как оптическую среду с комплексным показателем преломления п (г) = п1 (r) + in2 (/*), где пх есть его действительная часть, а п2 — мнимая. Коэффициент поглощения среды, как нетрудно вывести, равняется у (г) = k0n2 (г).
При достаточно короткой длине волны X мы можем рассчитать фазу 1]/, пользуясь эйкональным приближением, т. е. формулой (36.22), если интегрирование вдоль луча (хь х2) производить при заданном параметре удара р = /Х.
