Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 81] ОБЩИЙ СЛУЧАЙ РАССЕЯНИЯ. ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ 347
ломления среды п (г) = у 1 — ~ становится также комплексным.
В этой связи полезно привести обобщение уравнения непрерывности на случай комплексного потенциала. Выписывая нестационарное уравнение Шредингера для U (г) = иг (г) + iU2 (г) и повторяя выкладки § 29, легко получить уравнение непрерывности в следующем виде:
dw .1. . 2U2
-gT + div } = -^w.
Плотность частиц w и плотность потока вероятности j по-прежнему определяются формулами (29.4) и (29.5), а член в правой части возникает за счет того, что lmU(r)^0. Если {У2< 0, то
происходит поглощение частиц с характерным временем % = -?-.
U 2
Если же U2> 0, то имеет место рождение частиц.
Рассмотрение сложных систем, например, атомного ядра, с помощью комплексного потенциала называется оптической моделью.
Докажем важную теорему, устанавливающую связь между мнимой частью амплитуды рассеяния вперед (6 = 0) и полным сечением. Из (80.15) и (80.21) следует, что
оо
1т А (0) = 2/Г 2 Pf+lHl-ReS,), (81.9)
I = о
где IтА означает, как обычно, мнимую часть. Сравнивая это с (81.8), получим
ЫА(0)=^в‘. (81.10)
Это и есть так называемая оптическая теорема. Она позволяет определить мнимую часть амплитуды рассеяния для 0 — 0 из полного сечения.
Важные соотношения между мнимой и действительной частью амплитуды А {к, 6) могут быть получены из аналитических свойств этой амплитуды, частично уже рассмотренных выше. Эти соотношения называются дисперсионными. Они основываются на принципе причинности.
Принцип причинности предполагает, что состояние квантовой системы в момент времени t зависит только от ее состояния в предшествующие моменты времени t' < t. В квантовой механике этот принцип содержится в уравнении Шредингера, согласно которому приращение волновой функции за время dt определяется значением функции в момент времени t (ср. § 28)г). Прямым
х) О причинности в квантовой механике см. подробнее § 140 и дополнение XII.
348
ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ
[ГЛ. XIII
следствием принципа причинности является возможность аналитического продолжения амплитуды рассеяния в комплексную плоскость энергии Е. В дополнении XII на простом примере показана связь причинности с аналитическими свойствами рас-
Е
сеянной волны по комплексной переменной
Наряду с комплексными значениями энергии Е можно рас-
и Y 2 тЕ
сматривать комплексную плоскость волнового вектора —
Наиболее простыми аналитическими свойствами в k плоскости обладает амплитуда рассеяния вперед А (,k, О) = А (k). Эта амплитуда может быть аналитически продолжена на все комплексные значения переменной k, за исключением отдельных точек на мнимой оси, в которых она имеет полюсы1). Как было показано в § 80, эти полюса соответствуют или связанным состояниям, если 1т&>0, или резонансным состояниям при 1ш^<0.
Предположим для простоты, что в рассматриваемой системе нет связанных состояний и что амплитуда рассеяния А (k) исчезает на бесконечно удаленном полукруге в верхней полуплоскости Im&>02).
Для аналитической функции А (г) можно написать формулу Коши
<8М|>
С
где С —замкнутый контур, содержащий точку г. Пусть точка г расположена в верхней полуплоскости. Тогда в качестве контура возьмем всю действительную ось — оо < z < + оо и полукруг бесконечно большого радиуса в верхней полуплоскости. Устремим теперь точку г на действительную положительную ось. Так как, по предположению, А (г) исчезает при jz|->oo, то в результате получим
+ о°
А {г) = ~& J (81.12)
— 00
Интеграл в формуле (81.12) вычисляется в смысле главного значения. Для реальной части А (г) из (81.12) получаем следующее выражение:
Re A (z) J (81.13)
— СО
г) См., например, А. И. Баз ь, Я. Б. Зельдович, А. М. Переломов, Рассеяние, реакции и распады в нсрелятивистской квантовой механике, «Наука», 1971, гл. 3.
2) Эти предположения необязательны. Они приводят к наиболее простым дисперсионным соотношениям.
§ 811 ОБЩИЙ СЛУЧАЙ РАССЕЯНИЯ. ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ 349
Мнимая часть амплитуды рассеяния является нечетной функцией переменной k' = г' (см. литературу в сноске на стр. 348). Это позволяет преобразовать формулу (81.13) так, чтобы интегрирование велось только по положительным значениям k’:
оо
ИеЛ /г' lrl^dk'-. (81.14)
О
Воспользуемся теперь оптической теоремой (81.10) и заменим
k
ImA(k) величиной -4-- g[0[ (к). В результате получим
1 ^ ? к'2а*п\ №') dk'
• да-15»
0
Формула (81.15) и есть дисперсионное соотношение в его простейшей форме, выражающее действительную часть амплитуды рассеяния через полное сечение а{01.
Дисперсионные соотношения имеют широкое применение в современной теории рассеяния частиц, особенно в релятивистской области *).
А. Дифракционное рассеяние
Допустим, что взаимодействие между рассеивающим центром и частицей сосредоточено в области радиуса R, так что R есть радиус сферы взаимодействия.
Предположим, что длина волны падающей частицы Тогда в рассеянии будет участвовать много парциальных волн
с орбитальными числами от 1 = 0 до / = у^>1. В этом случае
сумму по парциальным волнам в (80.15) можно заменить на интеграл по dl. Далее, для небольших углов рассеяния б полином Лежандра Я/(cos 6) можно аппроксимировать функцией Бесселя «/0(ЛЭ)2). Таким образом, вместо (80.15) будем иметь
