Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
344
ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ
[ГЛ. XIII
В этом выражении второй член имеет резонансный характер около точки a(k0) = n, где п — целое число. Поэтому в окрестности этой точки можно отбросить интеграл по линии С'. Далее, sinna(?) в окрестности этой же точки можно заменить его разложением в ряд
sin [яа (?)] = (— \)п я [а[ (k0) (k — k0) + .. . + ia2(k0) + ...], (80.30)
где ах = Re а, а2 = 1ша, а[ (k0) = ^ к и мнимая часть а2
переменной а считается малой величиной. Замечая далее, что k — k0 — (Е — Ео), мы можем представить амплитуду A (k, 0) около точки Е = Е0 в виде
л <*•») - р w/;(e!‘V' (80'3|)
где Г = (k0)/a\ (k0). Если а2 = 0, то амплитуда А (к, в)
II
имеет полюс при Е = Е0, отвечающий связанному состоянию. При а2 (k0) Ф 0 амплитуда A (k, б) описывает резонансное состояние с ЕГ = Е0 и шириной Г. Описание рассеяния с помощью полюсов Редже в нерелятивистской квантовой механике совершенно эквивалентно описанию, вытекающему из решения уравнения Шредингера. Полюсы Редже, описывающие связанные или резонансные состояния, описывают те же связанные состояния и те же резонансные состояния, которые можно найти, решая уравнение Шредингера. В качестве простого примера полюсов Редже можно привести полюсы матрицы рассеяния S (k, I) в кулоновском поле притяжения, описанной в § 82. Парциальные амплитуды рассеяния в этом случае имеют вид (см. формулу (82.12))
S(k, /)=-^ТГТ§’ (80-32)
где I = , Г — гамма-функция.
Гамма-функция имеет полюсы в тех точках, где ее аргумент равен целому отрицательному числу или нулю. Поэтому парциальная амплитуда (80.32) имеет полюсы в комплексной плоскости I при
I = a (k) = — 1 + il - nr, (80.33)
где пг = 0, 1, 2, ...
Следовательно, для каждого значения числа пг имеется своя траектория Редже. Полюсы, соответствующие реальным физическим состояниям, суть полюсы с целыми положительными значениями 1 = 0, 1, 2 ... Из (88.33) имеем для этих значений I
§ 811 ОБЩ! 1П СЛУЧАЙ РАССЕЯНИЯ. ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ 345
Л2
Так как энергия Е определена формулой Е = ~ k2, то мы полу чаем терм Бальмера Еп =
c1ZjZ*n 1
ZjZiEo
2h2
(80.35)
где n = nr + l +1, а Е0 — энергия основного состояния атома водорода. Таким образом, зная матрицу рассеяния, по ее полюсам можно определить энергию связанных состояний1).
Траектории Редже принято изображать так, что по оси ординат откладывается Re/, а по оси абсцисс-—полная масса (или ее квадрат) частицы. В частности, для атома водорода, в соответствии с (80.35), будем иметь
(80.36)
где М0 — суммарная масса невзаимодействующих ядра и электрона. На рис. 68 приведены эти траектории.
Теория полюсов и траекторий Редже оказалась очень плодотворной в физике эле-ментар ных частиц2).
§ 81. Общий случай рассеяния. Дисперсионные соотношения
Рис. 68. Траектории Редже для атома водорода.
По оси абсцисс отложена масса атома М = Е Е
~ М0 — — ®- в единицах , по оси ординат —
орбитальное квантовое число Re /. Каждая траектория соответствует определенному зна-юго кванте : 0, 1, 2, 3,
С помощью понятия матрицы рассеяния мы можем обобщать полученные в предыдущем разделе результаты и на случай неупругого рассеяния частиц. При 'этом неупругое рассеяние мы будем сейчас рассматривать феноменологически как поглощение пучка первичных частиц в рассеивающем центре; именно, каждое неупругое взаимодействие частицы с мишенью выводит частицу из числа упруго рассеянных. Стало быть, в этом случае амплитуда волны, упруго рассеянной центром, меньше амплитуды волны, падающей на центр. То есть |S/|<1, и, следовательно,
]) Приведенный результат был получен автором книги (1946).
2) См., например, П. Коллинз, Ю. Сквайре, Полюсы Редже в физике частиц, «Мир», 1971.
346 ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. XIII
фазы г]/ в этом случае являются комплексными:
*]/ — а/ + *Р/» (81.1)
где Р/ (Е) описывает «поглощение» частиц центром.
Нетрудно видеть, что теперь парциальное сечение упругого рассеяния напишется по-прежнему в форме
= ж (2/+ 1)1 1-S;!2 (81.2)
и совпадает с (80.18) при Рг = 0. Вычислим теперь парциальное
сечение неупругих процессов о}".
Для этого заметим, что полное число частиц, поглощаемых центром (или претерпевающих там реакцию) в единицу времени, равно, очевидно, полному потоку, втекающему в этот центр. Этот поток равен
'=? И*'*'*)*’ <8,-3>
где интеграл взят по поверхности, окружающей центр (ds = гг dQ), и под "ф/ подразумевается парциальная волна (80.20). Подставляя эту волну в (81.3), получим после интегрирования
/=-^(2/+l)(l-|S,|2). (81.4)
Парциальное неупругое сечение arj" будет равно где /0 есть
поток в падающей плоской волне вида е‘кг, равный —. Следова-
И*
тельно,
^=-?r(2/+l)(l-|S,ja). (81.5)
Соответствующие полные сечения получаются суммированием по I:
^=|2-2(2/ + 1)|1-5г|2, (81.6)
o''"=Jr2(2/ + l)(l-|S,|2) (81.7)
и, наконец, полное сечение всех процессов (упругих и неупругих) равно
at = 0е1 + о'» = ~ ? (21 + 1) (1 - Re St). (81.8)
Здесь ReS/ означает реальную часть Sh
Таким образом, неупругое рассеяние может быть описано с помощью введения комплексных фаз.
Формально это можно рассматривать как введение комплекс? ного потенциала U (г) = Ux (г) + iU2 (г), так что показатель пре-
