Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь простейшие аналитические свойства матрицы рассеяния, в которых отражаются важныё физические особенности квантовых систем.
Матрица рассеяния как функция волнового вектора k может быть аналитически продолжена в комплексную плоскость k при действительных значениях углового момента I или в комплексную плоскость I при действительном k.
А. Полюсы матрицы рассеяния в комплексной
плоскости k
Рассмотрим сначала первую возможность, полагая k = k0 + ix, k0 = Rek, х = 1т&>0.
Для чисто мнимых значений k ^следовательно, для отрицать2 \
тельных значений энергии Е = -„—I волновая функция г|э/(г, 8)
щ j
при гоо, согласно (80.8), приобретает вид
(Jt/ Til \
^_^+1-\ (80 23)
г -> оо ,t"ru'
Допустим, что рассматриваемая система имеет связанные состояния при отрицательных значениях энергии Е = ЕЪ Е2, ..., ЕП9 ... Такие состояния, как мы знаем, описываются экспоненциально убывающими волновыми функциями е~хг. Поэтому для связанного состояния второй член в (80.23) должен равняться нулю. Отсюда следует, что для связанных состояний е~1^1 = 0 или
S,(k)=e2l1i‘ik) = оо. (80.24)
342
ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ
[ГЛ. XIII
Иными словами, матрица рассеяния как функция комплексной
переменной k = k0-\-i>i должна иметь полюсы на мнимой оси
в верхней полуплоскости при kn-=ixny хп>0.
Эти полюсы соответствуют возможным связанным состояниям — дискретным уровням энергии. Они изображены на рис. 66. Наряду с полюсами, соответствующими связанным состояниям, матрица рассеяния может иметь полюсы и при положительной энергии. Такие состояния называются резонансными. Резонансные состояния нестабильны и распадаются с течением времени. Поэтому зависимость от времени волновой функции резонансного состояния 'фг, .если это состояние возникло в момент времени / = 0, имеет вид
(80.25)
так что энергия этих состояний имеет малую, отрицательную, мнимую добавку:
E—Er — i у. (80.26)
Соответственно этому, в комплексной плоскости k возникают полюсы матрицы рассеяния в точках
k = kr — iyir<> Хг> 0. (80.27)
ГГ» -п 2/z2 ,
При малой скорости распада 1Г и кг малы, поэтому lr^ — krxr.
Условия, при которых возникают резонансные состояния,
будут рассмотрены в § 81. Частным случаем резонансных состояний являются «квазистационарные» состояния (см. § 99).
Б. Полюсы и траектории Редже
Обратимся теперь к рассмотрению комплексной плоскости углового момента /. Будем исходить из разложения амплитуды рассеяния по парциальным волнам (80.15). Заменим в этой формуле сумму по дискретным значениям I контурным интегралом (преобразование Зоммерфельда —- Ватсона). Для этого необходимо найти такие аналитические функции S (/, k) комплексной переменной /, которые бы совпадали в целочисленных точках 1 = 0, 1, 2, ... cSi(k). Не останавливаясь на математических деталях этой проблемы1), будем считать, что такое аналитическое продолже-
Рис. 66. Полюсы матрицы рассеяния 5 в комплексной плоскости переменной k.
Полюсы, соответствующие связанным состояниям, отмечены крестиками, соответствующие резонансам, — отмечены кружками.
1) Эти вопросы рассмотрены, например, в книге В. де Альфаро, Т. Редже, Потенциальное рассеяние, «Мир», 1966.
§ 8°1 ТОЧНАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
343
ние для парциальных амплитуд ?/(&), а также для полиномов Лежандра Я/(cos б) найдено. Тогда амплитуду рассеяния (80.15) можно представить в следующем виде:
»p<(-cos8)il. (80.28)
С
Контур интегрирования С показан на рис. 67. Функция (sin л/)-1
имеет полюсы при целочисленных I с вычетами, равными IrrJil.
Поэтому вычисление контурного интеграла, в соответствии с теоремой Коши о вычетах, приводит к исходной сумме (80.15), если [е2щ1 — 1) не имеет полюсов на действительной оси х).
Допустим теперь, что матрица рассеяння S (k, /) = e2lVfe) как функция комплексной переменной I имеет полюс при некотором значении l = a(k) =
= «1 (?) + г«2 (&)>- в общем случае зависящем от k.
Впервые такие полюсы были рассмотрены Т. Редже (1959).
Поэтому их называют полюсами Редже. Функции a(k), описывающие движение полюса в комплексной плоскости I в зависимости от действительной переменной k, называются траекториями Редже.
Деформируем контур интегрирования С в контур, состоящий из прямой С' и бесконечно большего полукруга С". Предполагая, что подынтегральное выражение в (80.28) исчезает на полукруге С" и что в правой полуплоскости S (k, /) имеет лишь один полюс в точке l — a. (k) с выче-
том, равным Р (k), мы получим из (80.28)2)
/1 №, «I - [ SJ- [S ((, *) -11Р, (- cos в) а+
_____________^ +f ^wp(4,iw-cosi>)- да-29»
Доказательство этого предположения для широкого класса потенциалов, так же как и доказательство исчезновения интеграла (80.28) на бесконечном полукруге, было дано Редже (1959).
2) Предположение об одном полюсе необязательно. Оно сделано лишь ради упрощения формул.
С
I
I
м
С"
®1=<х(Ю
©
-1________________I L
-2 -/ |
О /
*
I
I
I
С'
I
I
С I /
/
/
Рис. 67. Комплексная плоскость переменной I.
Полюсы функции (sin nl)~ 1 отмечены крестиками. С— исходный контур интегрирования, деформированный контур состоит из прямой С' и удаленного полукруга С". Полюсы / = а (&) отмечены кружками.
