Принципиальные вопросы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
или иного результата опыта, именно имеет место так называемое каноническое распределение:
ф (В)-Е (р, д)
Wq(p, q)dpdq = e 6 dpdq\ (3.1)
здесь We(p, q)dp dq есть вероятность найти импульс системы р лежащим в интервале р, p + dp и координату q — в интервале q, q + dq (простоты ради мы явно выписываем все формулы для одной степени свободы); 0 есть температура термостата, Е(р, q) —
Л (в)'в
энергия системы, е означает нормировочный множитель.
Существование этого распределения является постулатом. По этому поводу Д. Гиббс писал: «распре-
24
деление, представляемое выражением (3.1).. . ., по-видимому, является наиболее простым мыслимым случаем, так как оно обладает тем свойством, что, когда система состоит из частей с отдельными энергиями, закон распределения по фазам для отдельных частей обладает одинаковой природой — свойство, которое чрезвычайно упрощает исследование и которое является основанием для весьма важных отношений к термодинамике» [1].
Эту мысль Гиббса можно пояснить следующим рассуждением [2]. Согласно теоремы Лиувилля плотность точек в фазовом пространстве р(р, q) постоянна вдоль траекторий. Это означает, что она должна быть функцией только интегралов движения. Представим себе, что нашу систему можно разбить на две слабо взаимодействующие части А и В. Тогда плотность р будет произведением плотностей подсистем А и В:
Р а+в — РаРв- (3-2)
Отсюда следует, что р может быть функцией только аддитивных интегралов движения. Если исключить из рассмотрения макроскопические движения всей системы (например, вращение, поступательное движение), то таким аддитивным интегралом движения является только энергия системы ЕА+В = ЕЛ + ЕВ.
Решение функционального соотношения (3.2) теперь гласит:
р = <*¦+№. (3.3)
Имея в виду, что число систем, имеющих бесконечно большую энергию, должно бьпь мало, мы заключаем, что р<0. Обозначим р = —1/0 и заметим, что а определяется из условия нормировки:
»>тяг-'- <3-4>
Отсюда a = i|)(0)/0. Предположим теперь, что одна из систем очень велика так, что ее можно рассматривать как термостат Гиббса. Тогда сравнение с (3.1) показывает, что © есть температура, характеризующая ансамбль, находящийся в равновесии.
Иногда стремятся обосновать распределение Гиббса, рассматривая так называемые микроканони-ческие ансамбли и вводя при этом новые постулаты.
25
Мы не будем удаляться в дебри аксиоматики и ограничимся первоначальной постановкой вопроса, исходящей от Гиббса, поскольку для наших целей она вполне достаточна. Мы хотим теперь обратить внимание на исключительно интересную особенность вероятности WB(p, q), заключающуюся в том, что она связывает параметры макроскопической обстановки М (температуру термостата 0) с параметрами микросистемы ц (с ее импульсами р и координатами q). Таким образом, мы можем сказать, что вероятность We(p, q) относится к микросистеме, находящейся в определенной макроскопической обстановке. Ансамбль Гиббса представляет собой воспроизведение большого числа таких ситуаций и во многих случаях может быть осуществлен практически с большой степенью точности.
В связи с дальнейшим мы хотели бы отметить, что вопрос о том, относится ли вероятность We(p, q) к одной частице или она является характеристикой многих частиц (вопрос, который задают из соображений главным образом сектантских: «како веруюши?»), не имеет большого значения. Суть дела заключается в том, что какой бы результат наблюдения ни осуществился, в одном-единственном измереиии он меняет лишь наше субъективное отношение к обнаруженному факту: если произошло типичное явление, то разумно будет сказать, что «так и ожидалось», а если произошло редкое событие, то мы можем лишь выразить свое удивление или радость, как при хорошем выигрыше в лотерею. Все это относится к субъективным оценкам. Объективное значение имеет лишь распределение результатов измерения, возникающее при проведении большего числа измерений в ансамбле, и это-то распределение и предсказывается вероятностью We(p, q).
Существование этой вероятности есть один из замечательных и фундаментальных законов молекулярной статистической физики.
Здесь будет еще раз уместно поблагодарить игру случая, который, как бы в противоречие со своей собственной природой, порождает столь простые законы, как закон канонического распределения Гиббса.
§ 4. КВАНТОВЫЙ АНСАМБЛЬ
Рассмотрим тот случай ансамбля Гиббса, когда температура термостата равна нулю. Согласно каноническому распределению энергия системы должна быть в этом состоянии наименьшей из возможных. Это означает, что кинетическая энергия Т(р) должна равняться нулю, а потенциальная U (q) должна быть наименьшей. Отсюда следует, что импульсы системы должны равняться нулю, координаты q обязаны иметь одно-единственное значение, соответствующее минимуму потенциальной энергии. Иными словами, все динамические переменные при 0 = 0 будут иметь одноединственное значение и никакого статистического разброса не будет. В частности, не должно быть и рассеяния света, вызванного молекулярным тепловым движением. Однако опыт показывает, что на самом деле такое рассеяние существует и при низкой температуре, в пределе — при абсолютном нуле. Это указывает на то, что и при этой температуре, когда всякое движение должно бы прекратиться, на самом деле оно сохраняется в какой-то форме и приводит к рассеянию света. Одни из первых исследователей этого вопроса Джемс, Бриндли и Вуд писали в отчете о
