Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Блохинцев Д.И. -> "Принципиальные вопросы квантовой механики" -> 5

Принципиальные вопросы квантовой механики - Блохинцев Д.И.

Блохинцев Д.И. Принципиальные вопросы квантовой механики — М.: Наука, 1966. — 162 c.
Скачать (прямая ссылка): principialnievoprosikvantmeh1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 43 >> Следующая

Это обстоятельство крайне важно, так как показывает, что детерминистическое предсказание будущего является на самом деле условным: будущее механической системы может быть предсказано только в том случае, если наперед гарантируется изолированность системы. Эта гарантия не вытекает, однако, из уравнений движения, а является дополнительным условием, которое наносит серьезный ущерб репутации детерминизма. Грандиозное и мрачное «если» вырастает на пути того пророка, который по начальным данным намерен предсказать будущее реальной механической системы.
D, Несколько замечаний о поле
Рассмотрим теперь те же проблемы применительно к полю, подчиняющемуся линейному уравнению. Для простоты ограничимся случаем скалярного поля Ф = Ф(лг, t). Такое поле подчиняется уравнению:
— V2cp — у.-ф = 0. (2.28)
Общее решение этого уравнения может быть выражено через начальные данные ф(лг, 0) и ^ и
Рис. 1. Начальные данные даются на поверхности сг' (отрезок а'Ь'У, граничные — на поверхностях S' и S" (отрезки а'а" и b'b"). Линия оо' есть траектория частицы.
2 Д. И. Блохипцео
17
через граничные значения ф(лг, /), ^ (здесь п —
нормаль к граничной поверхности), которые задаются для всего будущего времени />0, по известной формуле Кирхгоффа [5]
Ф(*, D=j[g(x, t. х’,
i/''')]<*>' =
= J ®(х, t, х'. t')<+{x', t')do’. (2.29)
Здесь g(x, t, х', t') — функция Грина уравнения (2.28), удовлетворяющая неоднородному уравнению
-^g-^g = -6(t-t')b(x-x'y, (2.30)
д д2
© означает оператор —~дпг ' Поверхность
а', по которой идет интегрирование (п' есть нормаль к этой поверхности), частично состоит из временных кусков S' и 5" (см. рис. 1) и частично из пространственного а', на котором задаются начальные данные. Формула (2.29) предсказывает значения внутри объема, ограниченного поверхностями a', a", S' и S".
Из формулы (2.29) непосредственно видно, что поле выражается не только через его начальные данные (на поверхности о'), но и через граничные значения (на поверхностях S' и 5"), которые мы обязаны задать для всего будущего времени. То «если», о котором мы говорили применительно к механике, в теории поля получает прямое математическое выражение в виде интегралов по временным поверхностям S' и 5". Физический смысл этих интегралов очевиден: они описывают влияние полей, приходящих из тех областей пространства, которые не вошли в начальные данные. Если бы мы отказались от учета начальных граничных данных, то мы расплатились бы за это тем, что область пространства, в которой мы предсказывали состояние поля, сокращалась бы со временем, как это показано на рис. 2. Непредвиденные сигналы врываются в рассматриваемую нами область пространства со скоростью света, и с такой же скоростью
18
сокращается эта область; по прошествии времени t = R/c вся область уже будет заполнена волнами, которые не предусматривались нашими расчетами; сила нашего предсказания была бы к этому времени полностью утрачена.
Линейный характер поля позволяет сразу написать выражение для квадратичных корреляций поля
Рис. 2. Если даны только начальные данные на а' (а'Ь') и неизвестны граничные данные, то область а, в которой известно поле ф, сокращается со скоростью света с и при t = a'b'/c, сг" = 0!
в двух точках ф{x',tr) и ф(лг, t), если начальные данные и граничные значения флюктуируют. Как следует из (2.29):
ф(лг', t')y(x, t) —
= J ®(0>, <$*")&(<$»', <$»"') D (<$»" —<&>"') do" do"', (2.31) где
D {&" — &'") = 6ф (&»') 6ф (<&>"') (2.32)
есть корреляция флюктуаций бф(^>,/) и (хр(еР'") поля в точках (х", t") и ^"'(х'", t'"), лежащих на границе области интегрирования (на поверхностях S', S", o'). Не будем вычислять это выражение для конкретных случаев, ибо оно аналогично выражению (2.22) в случае механики.
Рассмотрим специальный случай, когда флюктуации имеют место только в начальных данных. Тогда можно предложить более прямой пугь для вычисления квадратичных флюктуаций поля. Именно, разложим
19
поле ф(X, t) в ряд по собственным колебаниям Фй (X):
<р(х, 0 = 2 <7* (0 ф* (X). (2.33)
*
Амплитуды парциальных колебаний <?*(/) будут удовлетворять гармоническим уравнениям
+ = (2-34)
где т — частота /г-го колебания, <7й = а/(е,а^. Напишем теперь среднее значение для произведения по-
лей в точках <&*(х, t) и ^{х!, t'):
D(S° — <>?')== <р(х, t) ч>{х', t') =
= 1> 1*%{х')%{х)^ке-ш»1'-1^. (2.35)
к k'
Если отдельные колебания статистически независимы, то
a^ak^=a(k) b(k-k') (2.36)
и выражение (2.35) принимает форму
D (&> — &') = 2 ф; (*') i|>, (лг) а {k) eiak {i~n. (2.37) k
Наконец, при постоянстве a(k) (среднее значение а*,«д. для всех k одинаково) вместо (2.37) получаем:
D — &•) = а 2 Ф; (*') Ф* (лг) е (<_п. (2.37*) k
Это выражение совпадает с функцией Грина для уравнения (2.28), и при t = t' находим:
D(& — &') = ab{x' — x). (2.38)
Вычисленное по формуле (2.37) среднее квадратичное отклонение не нарастает со временем. Это есть особенность линейных систем.
Рассмотрение нелинейных систем представляет значительные трудности. Однако можно получить некоторое представление о поведении нелинейного поля, если иметь в виду, что нелинейное поле можно рассматривать как совокупность связанных между собой осцилляторов, число которых бесконечно велико. Система из большого, но конечного числа связанных осцилляторов является квазипериодической системой,
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 43 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed