Принципиальные вопросы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
* = ~дГ = а’ /=г--^- = 0’ (2-14)
так что
Ф = со/ -J- ф0, со —const. (2.15)
*) См., например, [1] или [2].
12
Координата q выражается через переменные <р и / в виде ряда Фурье:
+оо
?(*)= S А.*'"*. (2-16)
ft-* —со
где амплитуды Л„ — функции /.
Уравнения (2.15) формально совпадают с уравнениями для свободного движения частицы:
q— — t-\-q0, q = — = -i~ = const.
v m m ф
Поэтому если первоначальное распределение величин со и ф есть гауссовское, то выводы, сделанные для свободного движения, полностью переносятся и на квазипериодические движения. Роль импульса (точнее, скорости играет теперь угловая скорость со,
роль координаты q — угол ф. Очевидно, что информация о положении системы будет полностью потеряна, если неопределенность в ф превзойдет 2я. Если первоначальная неопределенность в ф определялась величиной Ь, а неопределенность в распределении со — величиной а, то сравнение с (2.13) показывает, что , . 2ят
это произойдет при t > —— .
Кстати сказать, в квантовой механике имеет место совершенно такая же ситуация, с той лишь существенной разницей, что очень узкое распределение по начальным координатам q неизбежно приведет к особенно быстрому расплыванию первоначального распределения.
Итак, мы видим, что в случае апериодического движения всегда существует такое время t, что при , „ Ьт
t — неопределенность в координате частицы
становится больше любой наперед заданной точности информации, определяемой величиной Ь, и тем самым разрушает ее.
В случае периодического движения информация о положении частиц полностью разрушается при
о>—•
^ а
13
В. Случайные силы
Мы рассмотрели влияние некоторой неопределенности в начальных данных на предсказуемость состояния механической системы в будущем. Однако и в процессе самого движения частицы на нее будут действовать силы, которые не могут быть точно предсказаны. В реальных условиях эти силы неизбежны, они могут быть весьма малыми. Это могут быть, например, силы, вызванные толчками, сообщаемыми телу молекулами среды, или ее турбулентностью, или другими неоднородностями среды, носящими случайный характер.
В общем случае невозможно дать теорию таких явлений, хотя они и были предметом многих глубоких исследований математиков. Однако если основное движение подчиняется линейным уравнениям или если случайные силы малы по сравнению с основными, то учесть эффект этих сил не так уж трудно. В дальнейшем мы и рассмотрим подобный случай.
Выпишем уравнение движения в ньютоновской форме:
mq=F(q, t). (2.17)
Предположим, что сила F(q, t) может быть разложена на регулярную часть F(q) и на случайную часть f(t), зависящую лишь от времени.
Далее разложим соответствующим образом и координату q = Q + Aq, где Aq есть отклонение, вызванное случайной силой f. Пренебрегая теперь в уравнении (2.17) высшими степенями Aq, получим линейное уравнение для Aq:
<2-'8>
Это уравнение может быть решено с помощью функции Грина ®(t—t'), которая подчиняется уравнению
(2.19)
и граничному условию ¦
©(/ — t') — Q для t—t' <0
14
Пользуясь функцией Грина, решение уравнения (2.18) напишем в виде
t
= i \т-ПППй?. (2.20)
о
Обозначим среднее значение произведения случайной силы, взятой в два различных момента времени t и 1\ через
a?A(t-t') = f(t)f(t'), (2.21)
где а2 — размерной коэффициент; введенная величина имеет смысл корреляции /(/) для двух моментов времени t и t'. С помощью (2.20) и (2.21) вычислим среднее квадратичное отклонение Д<72: t t
Ecjf4j)=:~ J d? J dt"®(t — t").
о 0
(2.22)
Предположим, что функция корреляции Д(/) доста* точно быстро убывает так, что она практически равна нулю для |^| >т. Если функция Грина изменяется плавно в течение времени т, то можно, интегрируя по t" и нормируя Д(/) так, что
4-00
J Д(t'—t”)dt" = h
— оо
получить
t
ЦЩ = ?_ J {t _ fy (2.23)
о
Применим эту формулу к линейному уравнению
(2.24)
здесь \ — коэффициент трения, am — частота собственных колебаний, f{t) — случайная сила. Функция
15
Грина для этого уравнения равна [4]:
® (/) = УЯПГШ ^ ^Т~Й>2- для />()
(2.251
и
©(0 = 0 для t< 0. (2.25*)
Рассмотрим теперь два случая:
а) Свободное движение с трением (со = 0, Я?=0). При t-*oо, пользуясь (2.23) и (2.25), получаем:
t
= <226>
0
б) Гармонический осциллятор, также с трением, при t->oо. Находим из (2.23) и (2.25):
(2.27)
В случае отсутствия трения для этих же систем получим:
Щ = з|г*3+---. (2.26*)
^ = (2.27*)
Итак, мы видим из приведенных примеров, что случайные силы могут серьезно повлиять на предсказуемость движения в классической механике.
С. Граничные условия
В механике обычно не принято упоминать о граничных условиях. Иногда говорят об условии изолированности системы. Под этим разумеется, что на систему не действует и не будет действовать в течение интересующего нас промежутка времени никаких сил кроме указанных в уравнении ее движения.
Фактически предполагается, что область пространства, где происходит движение нашей системы, можно окружить поверхностью, через которую не про-
16
пикают внешние поля и тела. На рис. 1 изображена такая поверхность для случая одномерного движения по оси ох. Система изолирована, если можно гарантировать, что через поверхности S' и S" не будут вторгаться внешние поля или тела. Так, например, планетная система может считаться замкнутой только постольку, поскольку гарантируется, что в течение интересующего нас времени в ее пределах или вблизи нее не появится какое-либо непредусмотренное небесное тело.
