Принципиальные вопросы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Факт нагревания «г/»-колебаний и есть то макроскопическое явление, которое удостоверяет состояние данной идивидуальной микрочастицы, в нашем примере — атома.
Рассмотрим теперь математически работу такого детектора. Гамильтониан невозмущенной системы наших осцилляторов напишем в виде:
осцилляторов, соо — частота их собственных колебаний.
Энергию взаимодействия W этих осцилляторов с микрочастицей из пучка, падающего на детектор,
N
Нп -= 2 Н0 (jcs, ys) — Eq,
$-I
(13.34)
/jO)
где fo—нулевая энергия, E0 — —~-N, М — масса
8 Д. И. Блохинцев
ИЗ
примем в виде:
N N
W=(о ^ oMsas = - й© S * (13-36)
,5=1 5=1
где <MS — механический момент осциллятора, a az — спиновая матрица оптического электрона атома. Так как мы предположили, что спины атомов в пучке ориентированы по оси oz, то вместо чМв мы написали оМгвг, Где
=—¦й{*¦ w.-ж)=и -к ¦
и вместо а просто
очевидно, для одного детектора нужно вместо ог взять + 1, а для другого —1.
Заметим, что
xs~ rs cos ф5, ys — rs sin ф*. (13.37)
rs = V^T?s- (13.37*)
Детектор D будем описывать матрицей плотности р, которую возьмем в х, «/-представлении. Подразумевая под х всю совокупность лг-координат осцилляторов (xi, х2, ... , xs, . . . , xN), а под у — таким же образом
все координаты (уи у2, . ¦ ¦, ys, • • •» Un) , мы можем
записать матрицу р в виде:
р = р(х, у; х', у', t).
Матрица р удовлетворяет уравнению (см. § 6)
-| + [Я0+Г, р] = 0. (13.38)
Нам удобнее будет вместо матрицы р иметь дело с матрицей
р __ eiHat/kpe~ iHatih' (13.39)
Заметим, что [W, Я0] = 0, поэтому W=W, и, подставляя вместо р ее выражение через р, мы получим для р:
р] = 0. (13.40)
114.
При подстановке сюда оператора W из (13.36) следует придерживаться правила умножения матриц с непрерывными строками и колонками. Для этого надо записать W в матричной форме. Например, вместо • t д
оператора —l“~gq ^ЗДУ6’1' писать:
(13.41)
Умножение означает:
(?Р)?у= J ^9vP(<7w> Я") dq"' =
= -М-?гР(ч'>я") (13.41*)
и т. п.
Если воспользоваться этими простыми правилами, то подстановка W в (13.40) приводит в раскрытом виде к простому уравнению в частных производных:
<Н \ <4 d<tS )
Это уравнение решается элементарно. Его общий интеграл есть
р =р(ю/ + ф1, <D^-t-q>2....tot -)- ....©/-(-ф^;
rv г2, ..., rs.....rN; «rf + q/,,
(0/+Ф2.......+ ....+
r[.r'....г', ..., r'N), (13.43)
где rv r2........rN и r[, r2.....r'N входят как пара-
метры.
Обратимся теперь к начальным данным для этой матрицы. Чтобы избегнуть загромождающих формулы множителей, введем в качестве единицы длины величину I = 2Ж.Г и вместо температуры 0 обратную
и _ fl(dn j-.
ей величину р = . В этих единицах все наши ве-
личины станут безразмерными. При /=0 матрица Р (¦*> У, х', у', 0) = pe(jc, х') р0 {у, у').
8* 115
Соответственно сделанным предположениям об абсолютном нуле температуры г/-колебаний имеем:
РоО/. У') = С0- е *~1 , (13.44)
где С0 — некоторый постоянный нормировочный мно-
у2
житель, а е 2 5 — волновая функция, описывающая нулевое колебание s-ro осциллятора по оси оу.
Значительно сложнее обстоит дело с вычислением матрицы ре(-к, -О. так как х-колебания находятся при температуре 0. В этом случае состояние является смешанным и веса отдельных состояний имею-
щих энергию Еп, будут е~Е,г^—е~^Еп. Поэтому матрица ре(х> х'), описывающая ансамбль, находящийся в равновесии с термостатом Гиббса при температуре 0, запишется в виде:
Ре (х. х) -= e&F <Р) S (X) (х) = F <% (X. xf)t
(13.45)
где
Zg(x, х) = ^е^Е^п(х)^п(х). (13.46)
П
Здесь сумма распространена сначала по всем состояниям п, имеющим энергию Е„, а затем по всем состояниям с различной энергией Е„.
Даже в случае осцилляторов прямое вычисление такой суммы весьма затруднительно. Поэтому мы применим обходной маневр, основанный на том факте, что если^(лг) есть оператор Гамильтона рассматриваемой системы, a V„(x) — его собственная функция, то
и, стало быть,
f(m'n(x)=f(E „)€(*)¦ <13-47)
Поэтому мы можем записать (13.46) в виде:
Z0 (х, х') = 2 е~т (ДГ)С М (•*')> (13.46*)
П
116
и, дифференцируя по найдем, что сумма 2&(х, х1) удовлетворяет дифференциальному уравнению [1]:
^ + «е = 0. (13.48)
Вместо &?(г) мы должны подставить сюда невозмущенный оператор Гамильтона для х-колебаний, т. е.
(13 49)
5—1 \ •> /
который мы заимствуем из (13.34) и (13.35), учитывая новые единицы измерения длины х.
Переменные в уравнении (13.48) в силу аддитивности гамильтониана (13.49) разделятся, и мы можем решать (13.48) в явном виде для одной переменной х. В этом случае (13.48) гласит:
dZe(x,x') 1 d2Z0 (х, х') dp ~Y дх2 +
+ {ix2~i)z(x’ х')=°- (13.50) Будем искать решение этого уравнения в форме Ze(x, х') — ехр [а + Ьх2-\- схх'-\-Ьх'2} (13.51) с граничным условием
Ze(x, х’)~-^е~~^{х~х'?, (13.52)
0->СО У р
|3->0
что соответствует испарению осцилляторов при
0 —»¦ оо, так как (13.52) имеет вид суммы для частиц идеального газа.
Подстановка (13.51) в (13.50) приводит к уравнению:
Ж = ',-Т’ Ж = 2',!~Т- <13'53>
% = 1Ьс, -f = |A (13.53*)
117
Эта система совместна и имеет решение:
и 1 е2? + 1 1 /ю гм
