Принципиальные вопросы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
P = 2k,
(13.22)
(13.23)
(13.24)
109
Обозначим теперь
p' + k' — k = P + k' — k — =
так что
dk' = dq, k' = q-P-\~k-f -^r .
Вводя в интеграл (13.19) новые переменные интегрирования q и г, получим из (13.19):
Если обозначить известный разрывный интеграл
Заметим, что для /+, vt>0, так как в этом случае Р=2&>0. Поэтому из (13.28) следует, что /+=—2ш' для y/>Q — | и Q — ?>0; иначе /+ = 0. Напомним, что ввиду наличия в Ф+ множителя ЧМЮ важны только малые значения ||| ^ а. Поэтому полученный результат означает, что <P+(Q, ?, /) отлично от нуля при t—* оо только в области 0<Q< + oo, т. е. справа от вершины кратера, что соответствует полученному от микрочастицы положительному импульсу P = 2k.
Совершенно подобным же образом протекает вычисление функции В этом случае Р<0,
у<0 и вместо множителя /f получим множитель
отличный от нуля для vKQ — ?<0. В этом случае шарик вывалится из кратера налево.
Ф +(Q, I, t) =
(13.25)
где
—оо
4-00
ТО
*< + ?-(?
vt
¦) . (13.28)
Построим теперь матрицу плотности для нашего случая:
p(Q> Е; Q'. l', I, i', t) =
= Oo(Q. I, t)Oo(Q', l', *) + Oo(Q, I, t)0+(Q', i', t) +
+ Фо(<Э, l, t)0~ (Q\ l', *) + <D+*(Q, I, t)<S)0(Q', i, /)+
+ I. I, t)(D-(Q',i',t)+
+ Ф-\Q, I, t)0+(Q',l',t) + <!>+\Q,l,t)0+(Q', l',t)+
+ ®_*(Q> I, t)Q>~{Q', l', t). (13.29)
При /-> оо и |Q I, |Q'|>a все члены этой матрицы
исчезают, кроме двух последних. Именно, члены, содержащие Ф0, исчезают при Q, Q' ~> + оо как e~Q/a или g-O'2/®*, а интерференционные члены, содержащие произведения типа Ф+ Ф~, исчезают при t —> оо из-за свойств функции /* ( ^vt ~) • Поэтому при t-*- оо и для 1Q |, IQ'l^’a получаем:
p(Q, Q', I', t) = 0+*{Q. l, t)0^(Q', l', /) +
+ ®-*(Q, I, t),
t-> oo, |Q |, IQ'Oa. (13.30)
Мы видим, что макроскопический прибор разрушает интерференцию состояний микрочастицы A* etk^ и далее, при Q, Q' + оо
р(Q, I; Q', I', /)-^Ф+*(Q, I, t)0+{Q', t) (13.31)
и при Q, Q' ->• оо
p(Q, Q', I', I, t)0~(Q', l', t). (13.31*)
Эти два случая отвечают наблюдению шарика либо справа от кратера (13.31), либо слева от него (13.31*).
При Q—>+оо и Q' —> — оо или Q—>—оо и Q'—>+оо (это случай интерференции результатов наблюдений справа и слева) p(Q, Q', /)->0. Этого
111
и следовало ожидать от «хорошего» прибора: его «стрелка» должна занимать одно из возможных, определенных положений. В нашем примере «стрелкой» служит тяжелый макроскопический шарик.
В. Термодинамически неустойчивый детектор
Рассмотрим схематический прибор термодинамически неустойчивого детектора микрочастицы. В качестве микрочастицы будем иметь в виду атом, имеющий один валентный электрон, так что весь атом имеет магнитный момент, равный магнитному моменту этого электрона: Мво, где Мв — магнетон Бора, а
о (о*, оу, Ог) есть спиновая матрица Паули. Волновая функция атома Ч'- может быть записана в виде:
4'(Q, x) = ^1(Q)t1(x) + T2(Q)^2(x)) (13.32)
где %(Q) и 4MQ) СУТЬ функции, описывающие движение атома в целом; \|>i(*) и ^(я) —функции, описывающие внутреннее состояние атома и соответствующие двум возможным ориентациям магнитного момента атомного электрона.
Для определенности будем считать, что магнитное поле направлено по оси Oz, так что функция \|>i отвечает ориентации момента по оси Oz, а функция грг — ориентации против направления этой оси. Предположим, что под действием внешнего магнитного поля Н, которое мы считаем неоднородным, пучки атомов, имеющих различную ориентацию магнитных моментов, уже разделены пространственно, так что
4ri(Q)?2(Q) = 0. (13.33)
как это было описано в § 12. Таким образом, будем считать, что первая функция измерительного прибора— разрушение интерференции состояний (х) и i|>2(jc), соответствующих различным ориентациям спина валентного электрона, уже выполнена. Иными словами, после прохождения неоднородного магнитного поля нам остается только «подставить» под каждый из пучков свой детектор, который бы зарегистрировал факт попадания частицы, принадлежащей соответ-
112
ствующему пучку, т. е. фактически зарегистрировал бы то или иное состояние частицы («состояние» — в смысле ориентации ее спина).
В качестве такого детектора рассмотрим систему из большего числа осцилляторов s = l, 2, ..., N (N-*00), которые, чтобы не отяжелять расчет дополнительными обозначениями, будем считать двумерными, совершающими колебания в плоскости jсу.
Далее, предположим, что колебания типа «я» и колебания типа «у» практически не взаимодействуют друг с другом. Это позволит нам приписать различную температуру 0«jd>- и «г/»-колебаниям. Именно, мы будем считать, что в исходном состоянии детектора (в «исходном» — в смысле до взаимодействия с микрочастицей |i) «х»-колебапия связаны с термостатом Гиббса, имеющим температуру 0; поэтому и сами «дт»-колебания имеют при t=0 ту же температуру; что касается «у»-колебаний, то мы предположим, что в момент t = 0 они находятся при температуре абсолютного нуля. Таким образом, детектор находится в термодинамически неустойчивом состоянии: всякое, даже небольшое, воздействие, связывающее «х»- и «г/»-колебания, немедленно приведет к интенсивной передаче энергии от «х»-колебаний к «г/»-колебаниям [2].
