Принципиальные вопросы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим влияние этих обстоятельств на предсказания, вытекающие из законов классической механики. Однако сначала несколько слов о двух способах описания движения систем в классической механике.
Рассмотрим механическую систему, обладающую f степенями свободы. Ее состояние характеризуется набором значений координат системы qu q2, ..., <7/ (кратко будем писать q) и набором значений сопряженных им импульсов pi, р2, .. ., р/ (кратко р). Множество точек q образует пространство конфигураций 91 {q), а множество точек р — пространство импульсов №(р)- Совокупность обоих пространств 91 (q) X ^ (р) называют фазовым пространством SR(q, р). Можно сказать, что состояние системы в классической механике характеризуется точкой в фазовом пространстве.
Первый способ описания заключается в том, что мы рассматриваем одну систему, которая в момент времени / = 0 находится в зоне фазового пространства q = qo, Р = Ро, и в дальнейшем вычисляем ее траекторию q = Q(t, q0, Ро), P = P(t, qo, Ро) в фазовом пространстве №(<7, р). Эта траектория вычисляется, как известно, из уравнений Гамильтона, которые описывают движение точки в фазовом пространстве [1, 2]:
qs = [H, Ы Ps = [H, Ps], s=l, 2, ..., f. (2.1)
Здесь H — H(q, p, t) есть функция Гамильтона, которая равна сумме T+Uкинетической энергии Т=Т(р, q) и силовой функции U(p, q, t), характеризующей взаимодействие частей системы между собой и с внеш-
9
d W n
ним миром. В частном случае, когда = силовая
функция есть потенциальная энергия. Кинетическая энергия T(p,q) есть квадратичная функция импульсов р. Далее, [А, В] есть классическая скобка Пуассона. По определению:
и. <2-2>
5=1
так что
^¦4.\=W,' = -тк- (2'3)
Система уралнений (2.1) полностью описывает движение изолированной механической системы.
В случае, когда начальные данные системы неопределенны, более удобно другое описание движения.
Представим себе, что мы имеем дело с большим числом одинаковых систем, находящихся, однако, в различных состояниях.
Тогда изображающие их точки рассеятся в пространстве фаз и при некоторых условиях, на которых мы не будем подробнее останавливаться, можно говорить о плотности этих точек р(q, р, t), так что
Pfo- Р' ШГ
будет числом систем, имеющих координаты и импульсы, лежащие около точки (р, q) в момент времени t (dpdq=dpi, dp2 • ¦ • dp,dqu dq2 • • • dqf есть элемент объема в фазовом пространстве, а множитель 2лй выбран в качестве единицы фазового объема). В силу сохранения числа систем плотность р(<7, р, t) должна подчиняться уравнению непрерывности в пространстве фаз, т. е.
4s-+?(?».+?>.)-o- <2-4>
j-i
На основании (2.1) и (2.3) это уравнение можно записать в виде:
dt
+ [Я, р] = 0. (2.5)
10
С другой стороны, полная производная р по времени равна
р=-|+|«- р|-
Поэтому из (2.5) следует теорема Лиувилля:
р = 0, (2.6)
показывающая постоянство р вдоль траекторий.
В этом способе описания движения в момент времени ^ = 0 задаются не начальные данные, а функция р0 = р(р, q, 0), которая по самому своему смыслу описывает распределение начальных значений р и q, и далее ищется распределение р и q для />0. Это эквивалентно рассмотрению движения совокупности большего числа независимых механических систем, отличающихся друг от друга лишь начальными данными.
А. Влияние начальных данных
Чтобы не затемнять сущность дела сложностью выкладок, ограничимся одной степенью свободы (/=1). Рассмотрим сначала случай свободного движения, когда Т = р2/2т и U = 0 (т — масса частицы). В этом случае уравнение (2.5) имеет следующий вид:
<*•*>
и его общее решение есть
P(q, p. = р), (2.8)
где р0(<7, р) есть начальное распределение q и р. Предположим для определенности, что начальное распределение имеет гауссову форму:
1 (Р-Го)2 (<?~<?о)а
00 (<7>Р) = Ше 02 ” * • М
В этом распределении среднее квадратичное отклонение = —р)'1 = ~а2> а А?2 = (<7 — Яо)2 = ^Ь2. На
основании (2.8) при />0 получаем:
, 1,-р.г («-?'-*)*
Р(?, Р. 0 = -^Г«' - - • (2.10)
11
Отсюда следует, что распределение по импульсам р при />0 будет иметь вид:
Г 1 (Р-Ро)г
Р(Р> *)= J Р(Я- Р> = ’ (2Л1)
а распределение по координатам q при />0
9{й> 0= J Р(?> р. /)<*/> =
г./ »>+^г
Таким образом, распределение по импульсам остается неизменным, а распределение по координатам меняется. При этом среднее квадратичное отклонение Aq2 возрастает со временем
¦ ^=4(4' + 5И <2-'3>
, чч mb
так, что при полностью теряет свое значе-
ние первоначальная информация о положении частицы; частицы, различавшиеся при t = 0 по их положению в пространстве, перепутываются. В дальнейшем информация о положении частиц в пространстве продолжает ухудшаться.
Этот вывод применим, согласно замечанию Борна [3], и к значительно более широкому классу систем, а именно к системам квазипериодическим.
В случае квазипериодических систем введем так
называемые циклические переменные ф„ и соответ-
ствующие им действия Is*). Функция Гамильтона в этих переменных есть постоянная, зависящая только от действия (/), а уравнения Гамильтона гласят (для одной степени свободы):
дН г дН п /о 1
