Принципиальные вопросы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 9. Измерение внутренней энергии атома (опыт Штерна и Герлаха). S — «черный ящик», D—диафрагма. М = S -f- D приготовляет NS — магнит, являющийся анализатором; Р —пластинка, являющаяся детектором. ИП~ NS -\-Р\ Ф,, Ф2,
Ф3—разделенные пучки.
внутренних состояниях гр„(д:). Такое разделение осуществляется, например, в опытах Штерна и Герлаха по измерению магнитного момента атома (заметим, что в этих опытах фактически изменяется энергия атома во внешнем магнитном поле Я (см. [2, 3]). После помещения атома во внешнее неоднородное поле его внутренняя энергия Е„ станет зависеть от положения атома в пространстве:
En-*En(X, Y, Z), (12.10)
где под (X, Y, Z) понимаются координаты центра тяжести атома; в частности, если имеется в виду, что в состояниях п атом обладает различным магнитным моментом Мп, то
ЕП(Х, У, Z)=En — МПН, (12.11)
где <МП есть проекция магнитного момента атома на направление внешнего магнитного поля Н, которое
95
является функцией координат IX Y, 2\. Для определенности будем считать его направленным по оси ог, зависящим от г. Проекция магнитного момента атома оМп равна магнетону Бора ehj2\ic, умноженному на некоторый числовой фактор g, зависящий от структуры атома (множитель Ланде, см. [2]). Если.внешнее поле невелико, то оно не изменяет внутренней структуры атома, и поэтому волновые функции •фп (х) в этом приближении можно считать не зависящими от положения атома в пространстве, т. е. от координат X, Y, Z. Эти функции образуют полную систему функций, так что волновую функцию всего атома в целом Ч/(Х Y, Z, х), зависящую как от внутренних координат х, так и от координат центра тяжести атома X, Y, Z, можно разложить в ряд по функциям
фгг {%) •
ЧМ(Х, V, Z, х)=2'?п(Х, г, г)$й(х). (12.12)
п
Представляя состояние атомов в нашем ансамбле в виде суперпозиции состояний ^(л:), мы тем самым в явной форме допускаем, что наш «черный ящик» готовит чистый ансамбль но с неопределенной
энергией атомов Еп, так что АЕ2фО. Этот «черный ящик» и есть приготовляющая часть макрообстановки М. Наш измерительный прибор будет состоять из магнита NS, создающего неоднородное магнитное поле Я, направленное по оси ог и зависящее от z, и из детекторов ф4, Ф2, ..., а также, как мы увидим далее, сам атом в данном случае является частью измерительного устройства.
Волновая функция VF(X Y, Z, х) должна удовлетворять уравнению Шредингера:
ih Ж (A', Y, Z, х) =
= Т(Х, Y, X, Y, Z), (12.13)
где Жо{х, X, У, Z)—гамильтониан, описывающий внутреннее движение атома.
При наличии внешнего поля мы имеем:
М?0(х, X, У, Z)^n(x) = En(X, Y, Z)\p„(x), (12.14)
причем здесь использовано предположение, что внешнее поле не деформирует атома. [Функция i|b(*)
96
осталась неизменной.] Далее, Т(Х, У, Z) есть гамильтониан для движения центра тяжести атома; так как никакого другого взаимодействия атома с внешним полем, кроме того, которое вызвано наличием у атома магнитного (или электрического) момента, не предполагается, то гамильтониан Т(Х, Y, Z) есть попросту гамильтониан кинетической энергии всего атома в целом.
Подставляя теперь (12.12) в уравнение (12.13), умножая результат на какую-либо из функций ^(-к) и интегрируя по внутренним переменным (х), мы получим в силу условия ортогональности этих функций
j CW‘l,n(x)^ = 6«ra (12.15)
систему уравнений для функций xVm{X, У, Z):
ih^ = [T + Em(X, Y, Z)]'Ym. (12.16)
В этих уравнениях зависящая от координат X, У, Z энергия атома Em(X, У, Z) играет роль потенциальной энергии для движения атома как целого. Ввиду макроскопического характера внешнего поля Н оно меняется совсем плавно на протяжении длины волны
У _ ^ dl~f у Г J
атома- так что ~д7Х<^и-Это условие и есть как раз условие применимости классической механики к движению атома как целого. Поэтому мы представим функцию ^(Х, У, Z) в виде:
Ч'т(Л\ У. Z) = Vpm{X, У, Z)e^Sm{X'r'Z\ (12.17)
где Sm(X,Y,Z)—классическая функция действия, а рт(Х, У, Z) — плотность атомов в пространстве X, У, Z. Подставляя (12.17) в уравнение Шредингера (12.16) и пренебрегая высшими степенями постоянной Планка Л, после отделения мнимой части от действительной получим:
^=---mVs”?+E^x' Y’ <12Л8)
ж(р -v5-) = °- О2-18*)
7 Д. И. Блохиицев
97
Первое из этих уравнений есть уравнение Гамильтона — Якоби для функции действия Sm, а второе — уравнение непрерывности для плотпости рт атомов
в т-м пучке. Отношение —VSm есть не что иное,
как скорость атомов vm пучка; поэтому уравнение (12.18*) утверждает, что частицы будут двигаться так, что их поток через любое сечение трубки, образованной траекториями частиц, будет постоянен. Нам нет необходимости решать эти уравнения. Проще, имея в виду классический характер движения, воспользоваться прямо уравнениями Ньютона:
М d2Xm =0 М d2Ym —0 М d2Zm¦ =_____________^2- Н2 Ш
jvi df2 v, ivi df2 — и, m df2 dz . (it. lvj
Из этих уравнений находим:
Xm = vt + Xо, rm = r0(Zm = ^^-^ + Zoi (12.i9*)
где X0,Y(),Z0 суть начальные значения координат X,Y, Z, а v — скорость атома вдоль оси ох. Напомним, что наше решение приближенно. В действительности атомы, проходящие диафрагму D, не будут двигаться по классическим траекториям; пучок будет расползаться. Чтобы учесть это квантовое явление, следует сделать еще один шаг в приближенном решении уравнения (12.16), учтя члены, содержащие первые степени h. Мы не будем этого делать и ограничимся оценками. В силу соотношения неопределенностей (12.9) ширина пучка в направлении ог будет возрастать. Именно, из соотношения (12.9) следует,
