Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Блохинцев Д.И. -> "Принципиальные вопросы квантовой механики" -> 11

Принципиальные вопросы квантовой механики - Блохинцев Д.И.

Блохинцев Д.И. Принципиальные вопросы квантовой механики — М.: Наука, 1966. — 162 c.
Скачать (прямая ссылка): principialnievoprosikvantmeh1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 43 >> Следующая

Последнее соотношение показывает, что матрица плотности симметрична при перестановке частиц (ОПераТОр oPqq' = S^qS^q').
Если некоторая функция динамических переменных изображается оператором (пусть его матричные элементы в ^-представлении будут L(q', q)), то, как известно из квантовой механики, среднее значение физической величины L, изображаемой оператором будет
l = J ъ*м(q')1 to'» q)$M(ч) dq'dq• (5-9)
38
Отсюда и из формулы (5.3) видно, что среднее значение этой величины в смешанном ансамбле, описываемом матрицей pM(q\ q), будет
?=/Рж(?. q')L(q', q)dq'dq = Sp (рж^), (5.10)
где знак Sp означает след матрицы (р^^).
Матрица плотности может быть дана и в смешанном представлении, когда ее строчки отмечаются значениями одних динамических переменных q, а колонки— значениями других переменных, например р.
Именно:
Рм(Я> Р)^=Ърм^м (Я)Ъм (Р)> (5Л1)
Ms s s s
причем, согласно общим правилам преобразования волновой функции от одних переменных к другим, имеем:
t/и (Р)= [ S(P’ Я)$м (q)dq, (5.12)
S j S
где S — матрица унитарного преобразования от переменных q к переменным р.
Если под переменными q понимать координаты, а под переменными р — сопряженные им импульсы, то матрица становится прямым аналогом классической плотности в пространстве фаз \W(q, р)].
Однако более прямая связь существует между классической плотностью в пространстве фаз и величиной [1]
Р) = Рм(Я> P)S~1(q, р), (5.13)
где S~l(q, р) есть матричный элемент матрицы, обратной матрице S{q, р). В случае, когда координаты q и импульсы р являются декартовыми, матрица S имеет элементы
р)=-w (5-14)
39
и все соотношения становятся особенно простыми. Из (5.11), (5.13) и (5.14) нетрудно вывести, что
Ял.(<?)=/ Ь Р) ш (5.15)
есть вероятность найти в ансамбле значение координат, равное <?, а величина
Ял. (/>)=/ *м(Я. Р)ш (5-16)
есть вероятность найти в этом же ансамбле значение импульсов, равное р. Формулы (5.15) и (5.16) в точности совпадают с формулами классической теории, если Р) рассматривать как плотность в про-
странстве фаз'J? {q, р). Наконец, имеет место формула для среднего значения физической величины L, изображаемой оператором J7 с матричными элементами L(q, р) в <?, р-представлении:
Г= J /&(<?, р)Цд, Р)Ц??. (5.17)
где р) есть матрица, комплексно-сопряжен-
ная матрице RM(q, р), а величина L(q, р) равна
L(q, р)— j L{q, q')S{q', p)dq'-S~l(q, p). (5.18)
Аналогия между формулами (5.15) —(5.17) и соот-
ветствующими формулами классической, статистической механики настолько полна, что возникает большой соблазн положить в основу описания квантового ансамбля не волновую функцию, а матрицу плотности R(q, р). Однако такая тенденция не оправдывается при более глубоком рассмотрении. К этому вопросу мы вернемся позднее. Сейчас лишь отметим, что простые условия для волновой функции и матрицы при перестановке аргументов — динамических переменных тождественных частиц и условия эрмиювости операторов, изображающих физические величины, на языке матрицы R(q, р) выглядят довольно громоздко. Имен-
40
но, нетрудно показать [1], что условие (5) приводит к интегральному соотношению:
а условия симметрии при перестановках тождественных частиц (5.8) и (5.8*) выражаются соотношениями:
Р) = Я(?, Р), &pq = &p&q, (5.20**)
где qi, qit — координаты, а ри рн — импульсы переставляемых частиц, i-и и k-и, еРq— оператор перестановки координат, а — оператор перестановки импульсов.
Все эти соотношения легко удовлетворяются, если величину R(q, р) рассматривать как билинейную форму от волновой функции, данной в смешанном q, ^-представлении.
Практическое значение матрицы плотности R(q,p) заключается в том, чго если рассматриваемый квантовый ансамбль мало отличается от классического, то матрицу R{q, р) можно разложить по степеням постоянной Планка Ь\
Условие эрмитовости (5.19) тоже может быть представлено в виде ряда по степеням 6; для этого следует разложить R(q-j-|, р + г]) по степеням g и т] и воспользоваться равенством
<^У?(<7- Р)= ± R(q. Р)е &PR(.q> р)—± R(q> р)е
(5.20)
(5 20*)
ОО
(5.21)
Тогда из (5.19) получаем:
ОО
41
и, подставляя сюда ряд (5.21), находим:
Ro = Ro> Ri — R\-\
i дЧ<а 1! dqdp ’ 1 d<R0
(5.24)
2! dq*dp2 '
Из этих соотношений видно, что матрица R(q, р) может быть действительной только в пределе классического ансамбля, т. е. при h ->0. При h ФО матрица плотности R(q, р) обязательно имеет мнимую часть, не равную нулю. Поэтому при ИфО матрица R{q, р) не является плотностью вероятности в пространстве фаз 9? (<7, р), как это и должно быть в силу соотношения Гейзенберга, запрещающего ансамбли с точно заданными значениями координат q и импульсов р.
Особая ситуация возникает в случае ансамбля,содержащего тождественные частицы. Действительно, условия симметрии (5.20) и (5.20*) содержат постоянную Планка таким образом, что при h -> 0 возникает существенно особая точка. Поэтому разложение R в ряд по степеням й невозможно. Выход из этого затруднения заключается в замене матрицы R на матрицу, усредненную по фазовому объему [2, 3]:
где Q есть объем области:
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 43 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed