Принципиальные вопросы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
$м(Ь)= j S(b\a)$M(a)da, (4.8*)
J S(6|c)S+(c|a)fi?c = 6(& — a), (4.9*)
где интегралы в (4.8*) и (4.9*) понимаются в обобщенном смысле так, что пригодны для случаев, когда спектр возможных значений величин а и Ь может иметь разрывы или даже состоять из отдельных точек (дискретный спектр); в этом случае интеграл приводится к сумме. Сами матрицы 5 определяются из линейных уравнений *).
Преобразование (4.8) позволяет рассматривать волновую функцию как объективную характеристику квантового ансамбля, которая, однако, может быть дана в различных представлениях. Именно это важное обстоятельство и лежит в основе концепции квантовых ансамблей: в этой концепции волновая функция i|)M рассматривается как величина, заменяющая в квантовой теории классическую вероятность (Р> Ч) того или иного состояния системы в фазо-
*) См. курсы квантовой механики, например [4].
34
вом пространстве SR (p, q). Подобно тому как знание вероятности №e (р, q) позволяет определить вероятность любого другого набора динамических переменных в фазовом пространстве (Р, Q), так знание волновой функции i|>м в случае квантового ансамбля позволяет определить вероятности для любого полного набора динамических переменных а. Следовательно, волновая функция не есть величина, определяющая статистику какого-либо специального измерения-, она является величиной, определяющей статистику квантового ансамбля, т. е. статистику любого измерения, совместимого с природой микросистемы (д и той макроскопической обстановки М, которая диктует условия движения для микросистемы [д..
3*
§ 5. МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ
В некоторых случаях макроскопическая обстановка не является достаточно определенной и сама по себе должна быть описана статистическим образом. Естественно, что при этом в квантовый ансамбль вносится дополнительная неопределенность. Возникающий при этом квантовый ансамбль называют смешанным, в отличие от чистого ансамбля, имеющего место в случае вполне определенной макроскопической обстановки (см. [2, 4] к § 4).
Простейшим примером подобной ситуации может быть случай, когда имеется несколько некогерентных источников частиц, при этом частицы могут отличаться друг от друга значением импульса или поляризации, или иными параметрами. Пусть первый источник порождает частицы с вероятностью Рм,, а второй — с вероятностью Рм, (значок М\ указывает макрообстановку, в которой имелся бы только первый источник, а значок М2—обстановку, в которой имелся бы только второй источник). Первый источник порождал бы чистый квантовый ансамбль, описываемый волновой функцией ФЛ1(</), второй — волновой функцией
36
Таким образом, мы имеем квантовый ансамбль, который мы должны описывать набором вероятностей Рму и РМ2 и набором волновых функций Фж.О?) и 'lyO?)- Вероятности Рм< и Рм, указывают (Рм, -\-Рм,= 1). в какой пропорции «смешаны» чистые ансамбли, описываемые волновыми функциями и г|)Лг в нашем смешанном ансамбле (М = МН~М2). Ясно, что в общем случае мы будем иметь дело с любым (в том числе и неограниченно большим) набором вероятностей
Рмх, Рм2, •••, Pms.....= 1 (5-1)
и соответствующих волновых функций
ФЛ,. •••• V’ ••• (5-2)
Такое описание с помощью двух рядов величин Рм и волновых функций , конечно, очень не
удобно и на первый взгляд уводит нас очень далеко от аналогии с классическим ансамблем Гиббса. Однако эта аналогия восстанавливается, если ввести вместо волновой функции для описания смешанного квантового ансамбля квадратичную форму от волновой функции, а именно так называемую матрицу плотности:
РЯ') = ЪРМ^М W)^M (5-3)
М s s s
S
здесь q и q' означают две различные точки в пространстве какого-либо полного набора динамических переменных (конфигурационных или импульсных). Точки q отмечают строки матрицы, а точки q' — ее колонки. Диагональный элемент этой матрицы (q' = q) дает вероятность найти в смешанном ансамбле значение динамических переменных, равное q. Действительно, в этом случае мы получаем обычную формулу сложения вероятностей для независимых событий:
WM (Я) — Рм(Я< (5-4)
37
В частном случае Pms = 1, остальные Рм3 =0, и мы возвращаемся к исходной формуле для чистого ансамбля:
ИЗД) = 1'Ы‘7)12- (5-4*)
Матричные элементы матрицы плотности удовлетворяют определенным условиям симметрии. Волновая функция tyM{q) и сопряженная ей функция <|^ (<?) описывают одно и то же состояние. Из формулы (5.3) следует, что матрица p(q, q') является эрмитовой матрицей:
Рм(ч'> q) = 9*M(q, <?') = Р^(<7'- <?)• (5.5)
Далее, если наша микросистема состоит из тождественных частиц (или частью содержит тождественные частицы), то волновая функция г|>м(<7) при перестановке пары тождественных частиц, i—й и &-й, или остается неизменной (если частицы подчиняются статистике Бозе), или меняет свой знак на противоположный (в случае статистики Ферми).
Если обозначить оператор перестановки динамических переменных и qh пары г-й и k-й частиц через S^q, то для волновых функций имеем:
^VM<7) = (5-6)
Отсюда следует для матрицы плотности:
(?'. q)=± 9м (?'• 9)> (5-7)
^д'9м(д'> Ч)= ±9M{q\ q), (5.8)
^„„•9м№’ q) = 9M(q', q). (5.8*)
