Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(В-3)
Пример использования проективных представлений
291
где х( — нетривиальная трансляция, входящая в элемент {Ф |tj. Используемое здесь фактор-множество определяется
следующим образом:
r<ft>(A, ц) = ехр[— /(ф^-ft — ]. (В.4)
Ясно, что мы можем получить нужные нам представления D{k) {m) для каждого представителя смежных классов из табулированных Ковалевым представлений Z)(ft) (m), используя соотношения (В.3),т. е. умножая на ехр(— ik • т; у Это — простое
масштабное преобразование.
Обратимся теперь к случаю звезды *Х в алмазе. В § 14 [см. (14.23)] мы выбрали Х\ в качестве канонического волнового вектора. Но для сравнения с таблицами Ковалева более удобно выбрать в качестве такового вектор Я3(0, 0, 2п/а). Технику, используемую в этом приложении, легко преобразовать к прежнему виду, построив соответствующую сопряженную подгруппу (см. табл. 2 в работе [23]). При построении представлений полной группы не имеет значения, какой из векторов звезды выбран в качестве канонического; в этом можно убедиться, если индуцировать представления
'X )(т) с ПОМОЩЬЮ ПРИВОДИМЫХ ниже результатов и затем сравнить их с табл. Б1, содержащей системы характеров. Читатель должен вспомнить здесь выражения (14.23) —(14.36).
Фактор-группа ®(X3)/Z = Ф(Я3) изоморфна группе диэдра Dih, которая может быть определена тремя образующими элементами А, В, С\ мы выберем их следующим образом:
А ~ б4г, В ~ ру, С ~ рг. (В.5)
Этот выбор отличается от (14.23), однако соотношения (14.24) при этом не меняются. Каждый из образующих элементов комбинируется с нетривиальной трансляцией п. Как легко видеть, фактор-система (В. 2) для соответствующих проективных представлений при использовании образующих элементов принимает следующий вид:
г (А, А) — г (В, А) = г (В, В) = г (В, С) = г (А, С) = - 1, (В.6)
г (А3, В) = г(С, С) = г (С, B) = r(C, А) = + 1. (В.7)
Переход к фактор-системе Ковалева (В. 4) требует умножения на величину ехр(—l?3-ti) = —L Соответственно имеем
• D<ft>(/)(KIT.}) = -^<ft)</)K). (В-8)
где ф^ —поворот из группы а Ъ(Ь) и) — матрицы Ковалева. На величину ¦—i умножаются только те матрицы, для которых представители смежных классов содержат нетривиальную
292
Приложение В
трансляцию. Матрицы Ковалева тa)(ha) (где 7=1, 2, 3, 4 и ha — элемент пространственной группы) необходимо привести в соответствие с обычно используемыми обозначениями Херринга [78]. Для элементов пространственной группы это соответ-
ствие имеет вид
{б4г[т,}->/г14->Л, {ру I т,} -> /г27В, {рг | т,} -> h2&-+ С. (В.9)
Для неприводимых представлений мы используем наши обычные обозначения D(ft></)-> D(X)</>, где Х3 — канонический вектор. Тогда, используя табл. 159 из книги Ковалева [72], имеем
?>(*•> о ?><*>©_*?«),
D(X:) (3) ~(2) D(X,) (4) ~0) (В. 10)
В табл. В1 приведены матрицы неприводимых представлений для всех образующих элементов. Используя, далее, закон умножения (В.1), можно с помощью этих образующих матриц построить все матрицы представления, а затем с помощью последних — матрицы неприводимых представлений D( (/| полной
группы.
Таблица В1
Образующие матрицы неприводимых представлений в точке Х3
CVK} СгК}
д№) (1) (~У,) с ¦
D(X;) (2) П “) (о -”)
Dm (з) с;?) С 0
д(ДСз) (4) г: ?) (-• "0 а
Этот пример показывает, каким образом можно установить связь между известными из литературы таблицами проективных представлений и таблицами этой книги. Эта связь может оказаться полезной при изучении новых случаев.
ПРИЛОЖЕНИЕ Г
Таблицы для структуры типа цинковой обманки: F43m; Т\
В этом приложении даны таблицы правил отбора и связанных с ними характеристик для структуры цинковой обманки. Эта структура характеризуется пространственной группой Fi3m, или Т\. Чтобы не дублировать описанные выше результаты для структуры алмаза, мы будем максимально использовать приведенные выше таблицы.
Группа симметрии цинковой обманки является подгруппой индекса 2 группы 0\\
о7„ = т% + {11М7! <гл)
где представитель класса смежности состоит из операции
инверсии и нетривиальной трансляции п. Тогда группа трансляции и обратная решетка остаются теми же, что и для группы алмаза 0\ (табл. 1). Поворотные элементы симметрии совпадают с набором {<р10} из левого столбца табл. 2. Операторами пространственной группы являются элементы {<р»|/?а}, где /= 1, ..., 24 и Rl — элемент гранецентрированной группы трансляций ?. Векторы зоны Бриллюэна и их компоненты для групп цинковой обманки и алмаза тождественны, однако для некоторых k кратность различна благодаря тому, что факторгруппа содержит только 24 поворотных элемента. Вся эта информация собрана в табл. Г1.
Неприводимые представления группы Та были получены Парментером [177]; в этом приложении мы следуем его обозначениям, за некоторыми исключениями, отмеченными особо. Поскольку группа симметрии цинковой обманки является сим-морфной, имеются лишь обычные (векторные) представления, т. е. все элементы фактор-множеств для неприводимых представлений точечных групп ?(*). в том числе и для k, лежащих на границе зоны, равны единице. Таким образом, фактически единственнЪй проблемой является классификация представлений. В табл. Г2 приведены найденные Парментером характеры
