Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
?>(**) (/>
и характеров %(**)(/). После того как эти вопросы развиты до уровня, на котором читатель должен уверенно ориентироваться в структуре представлений и характеров, мы вводим проективные представления. Это позволяет дать более компактное и экономное описание разрешенных представлений которые могут быть использованы для индуцирования неприводимых представлений ^
Затем в т. 1, § 52—65, вычисляются коэффициенты приведения. Последние представляют' собой члены рядов Клебша — Гордана. Более важно то, что они прямо дают правила отбора для физических процессов, например для оптических переходов. Мы сравниваем различные методы получения коэффициентов приведения и показываем их эквивалентность. Таким образом, любой метод при правильном использовании дает верный ответ, но читатель должен быть уверен, что он знает совершенно точно, каково это «правильное использование», так как в противном случае можно получить ошибочные результаты. Это объясняется в т. 1, § 64.
В этой же части обсуждается вычисление коэффициентов Клебша — Гордана для пространственных групп. Эти величины содержат наиболее полную и детальную информацию, которую можно получить для какой-либо группы, и позволяют максимально использовать симметрию нужных величин, будь то собственная функция (собственный вектор) или другие величины. Зная эти коэффициенты, в удачных случаях можно осуществить полное разбиение матричного элемента или аналогичной величины на сумму произведений двух сомножителей, один из которых связан с4 симметрией и представляет собой коэффициент
256
Глава 5
Клебша — Гордана, а другой является приведенным матричным элементом, зависящим от конкретного вида взаимодействия.
Интерес к этому материалу должен, по-видимому, поддерживаться известными из учебников [149, 164, 165] идеями о важной роли симметрии при определении правильных линейных векторных пространств, лежащих в основе любого расчета. Поскольку эти главы посвящены в основном математическим проблемам, хотя и изложенным с точки зрения физика, их результаты являются общими и самостоятельными независимо от приложений. Они могут найти применение в проблеме фазовых переходов, сопровождающихся изменением симметрии, в зонной электронной теории, в теории обусловленных электронными переходами оптических свойств и в задачах электрон-фононного. взаимодействия и процессов рассеяния, включая явления переноса. При непосредственном обобщении этих результатов они могут быть применены к проблемам магнитных кристаллов, спиновых волн и т. д. Мы надеемся, что изложенные здесь основы теории позволят читателю легко освоить эти обобщения.
Далее мы обращаемся к физической проблеме, представляющей для нас основной интерес, — к динамике решетки. При обычном изложении этого вопроса [18, 32] симметрия кристалла рассматривается отдельно. Мы же развиваем здесь теорию (т. 1, § 66—86), основанную на подходе, в котором симметрия тесно переплетена с физикой. Собственные векторы динамического уравнения образуют неприводимые линейные векторные пространства, т. е. базисы неприводимых представлений. Читатель, способный оценить значение этого простого результата и вытекающих из него следствий, понимает суть применения теории групп в физике. Впервые этот результат был получен Вигнером [166] для более простой проблемы молекулярных колебаний, но вскоре был обобщен Зейтцем и др. [167] на случай кристаллов.
Для полного выявления смысла этого утверждения мы изучаем его во всех деталях, реально проводя преобразования, необходимые для получения симметризованных нормальных координат, и показывая, как при этом факторизуется динамическая матрица.
После того как введена динамическая матрица, мы должны сосредоточить внимание на динамической симметрии, что означает расширение группы симметрии за счет включения инверсии времени. Этот вопрос вначале обсуждается с точки зрения расширения группы пространственной симметрии с помощью операции комплексного сопряжения, а затем с более современной точки зрения копредставлений Вигнера [149]. Для наиболее рационального использования свойств симметрии по отношению к инверсии времени мы приводим здесь классификацию пред-
Прошлое, настоящее, будущее
257
ставлений согласно новому критерию. Эта классифика-
ция, которую предложил Фрей, несколько видоизменена нами в целях удобства ее использования. В остальном обсуждение математических аспектов теории копредставлений носит общий характер и поэтому применимо к любой задаче, симметрия которой определяется пространственно-временной группой $, в том числе и к рассматриваемой конкретной проблеме вычисления собственных векторов динамической матрицы.
Следующая часть книги связывает воедино многие из полученных до этого формальных результатов. Здесь приводится ряд примеров, показывающих, каким образом симметрия позволяет упростить и рационализировать вычисление ряда инвариантных и ковариантных величин, описывающих важные физические свойства кристалла: гамильтониана, критических точек в функции распределения частот, электрического момента и оператора поляризуемости. Мы проводим вычисления достаточно подробно н поэтому надеемся, что читатель сможет уверенно использовать эти методы в интересующих его новых случаях. Многие из приводимых здесь результатов разбросаны в разных местах в литературе; мы надеемся, что единая точка зрения поможет выявить общность этих методов.
