Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
ц = ей (0), (34.3)
а матричный элемент перехода (34.1)
М ~ {е | е • и (0) | g). (34.4)
Силу осциллятора / для однофононного поглощения можно
определить следующим образом:
/ = (34.5)
где М — масса примеси. Согласно (33.16), смещение атома в начале координат можно представить в виде
« (0) = Z ® (/1 °) <7/- (34.6)
Тогда можно показать, используя условия нормировки и (34.6), что
f~ wZ|a’“(/i°)i2- (34J)
a
Для локального колебания
(34.8)
a
следовательно,
i ~ i.
Оптические свойства кристаллов с нарушенной симметрией 241
Для зонных колебаний в силу их волнового характера смещение каждого атома содержит множитель порядка] NM Г'/г. Следовательно, в этом случае
X I wa |2 - 1 /rMN. (34.9)
а
Кроме того, зонные колебания характеризуются функцией распределения частот
g{ со), (34.10)
определенной в т. 1, § 106. Для неидеального кристалла мы можем взять ту же функцию распределения зонных частот, что и для идеального. При этом предположении сила осциллятора f для поглощения в интервале До около частоты со имеет вид
^~Х7ШГ*((й)Л(0’ или (34Л1)
Коэффициент поглощения в двух рассматриваемых случаях можно записать следующим образом:
локальное колебание: К (со) = 6е2 , (34.12)
где у (со) — некоторая функция, характеризующая форму линии локального колебания с учетом ее ширины;
2я2 1
зонные колебания: К (ш) = 6е2-щГ§' (со). (34.13)
В формулах (34.12) и (34.13) п — коэффициент преломления, б — концентрация примесей.
Отметим важные свойства поглощения света локальными и зонными колебаниями, существенным образом связанные с симметрией. В случае чисто изотопического дефекта локальное колебание всегда активно в однофононном инфракрасном поглощении, поскольку оно обладает симметрией Из зонных
колебаний активны те, которые относятся к представлению Г(о). В силу этого коэффициент поглощения пропорционален функции распределения частот «активных» колебаний, так что целесообразно
заменить g (ш) на ^'(со), (34.14)
гДе s'v (ш) — функция распределения частот зонных колебаний,
принадлежащих векторному представлению Г(,,) группы симметрии примесного узла в возмущенном кристалле. Таким образом, коэфициент однофононного поглощения в кристалле с легким изотопическим дефектом должен состоять из узкого интенсивного пика поглощения на локальном колебании и
242
Глава 4
сопровождающего его сплошного спектра, структура которого отражает функцию распределения g'(со). Для тяжелого дефекта и области зонных колебаний должен наблюдаться широкий пик, отвечающий квазилокальному колебанию; последнее наблюдается совместно с зонными колебаниями, имеющими ту же
симметрию Г(1,).
Проиллюстрируем указанные особенности на примере инфракрасного спектра кремния, легированного бором и фосфором (фиг. 31) [138—140]. В области энергий ниже йсош наблюдается возрастание поглощения по сравнению с чистым кристаллом. Поглощение в этой области (йсо < йсот) обусловлено зонными колебаниями, которые становятся активными благодаря дефектам. На фиг. 32 приведены результаты анализа спектров и дано сопоставление их особенностей с критическими точками вычисленного фононного спектра кремния. Заслуживает внимания также общее согласие функции распределения частот с формой спектра.
Отождествление локальных колебаний, обусловленных примесью бора, облегчается наличием двух изотопов В10 и В11; соответствующая классификации полос показана на фиг. 31.
Согласие с экспериментом могло бы быть улучшено, если бы при вычислении функции распределения частот учитывались правила отбора, т. е. если бы вычислялась функция g'v (со), а не
г И-
Исследования подобного типа развивались в последнее время по ряду направлений, из которых мы упомянем лишь некоторые. В § 31 и 32 указывалось, что все колебания неидеальной решетки— как локальные, так и зонные — следует классифицировать по отношению к группе симметрии примесного узла
. Точно так же, как в теории идеальных решеток или
молекулярных колебаний, в более высоких порядках все эти колебания могут давать составные тона или обертоны. Условие, необходимое для их проявления в инфракрасных спектрах, заключается в том, что произведение представлений D(/)®DW) для возбужденного состояния (т. е. для составных тонов или обертонов) должно содержать Г(1,). Для примесей бора и лития в кремнии [141] развита детальная динамическая теория, которая дает результаты, хорошо согласующиеся с экспериментом для интегральной интенсивности и спектральной зависимости коэффициента поглощения.
Были изучены также эффекты, обусловленные парами близко расположенных примесей в кристаллах типа алмаза [142]; например, развита теория локальных колебаний и инфракрасного
Оптические свойства кристаллов с нарушенной симметрией
243
12,5
X, мим
го
зо
40
50
Ь;
а
I
С)
'С:
?
1:
Энергия фотона, эВ
Фиг. 31 Спектр инфракрасного поглощения кремния, легированного бором и фосфором в концентрации 5 * 101е см-3 (сплошная кривая) и 5-1018 см~* (пунктирная кривая). Для сравнения штриховой линией показан спектр поглощения чистого кремния 1140].
244
Глава 4
