Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь Ми(/) — масса атома в узле х каждой ячейки (не зави-
ные векторы (33.1) получаются диагонализацией матрицы (т. 1,
Учитывая инвариантность силовой матрицы Ф или D по отношению ко всем элементам пространственной группы @, целесообразно провести фурье-преобразование матрицы (33.3), что приводит к динамической матрице (т. 1, 78.5):
Собственные векторы динамической матрицы (33.4) получаются, как и в (т. 1, 79.4), диагонализацией матрицы
метрии примесного узла ’Р
сящая от /),
компоненты смещения и
— динамическая матрица всего кристалла. Собствен-
72.6)
где
(х
234
Глада 4
Эти собственные векторы обозначаются х j выбираются
ортонормированными, как и в (т. 1, 79.8) — (т. 1, 79.11):
Ее:(’,|,*М’‘|,‘)=4нА.. (заб)
иа I I1 I v
MiM «I i (зз'7)
'ц
Нормальные координаты для данной задачи выражаются через эти векторы с помощью соотношений [см. (т. 1, 80.9) — (т. 1, 80.10)]
« (*)'- vr IZ ¦*"*•*« О»I* ) ¦“.( ') ^ <33-8)
Здесь неявно подразумевается гармоническая зависимость от времени. В пренебрежении симметрией по отношению к инверсии времени Q I . ) образуют базисы неприводимых представ-
V lii '
лений группы ©. Преобразование, обратное (33.8), имеет вид
В неидеальной решетке могут измениться как массы, так и силовые постоянные. Вид уравнения (33.1) при этом не меняется. Рассмотрим, однако, примесь массы М'н(1), связанную с кристаллом посредством измененных силовых постоянных ( 1 v \
©up I , I. Уравнения движения (33.1) принимают теперь вид
V % /
«')»„(')+ ? ?)“»С') = °- (33-10)
I'n’l3
Задаче (33.10) отвечает более низкая группа симметрии О примесного узла. Согласно результатам т. 1, § 72—76, собственные векторы матрицы (33.10) можно выбрать как базисы неприводимых представлений точечной группы (!)• Трансляционная симметрия теряется, так же как симметрия
Оптические свойства кристаллов с нарушенной симметрией
335
относительно любых поворотов, не входящих в группу ^5
Систему уравнений (33.10) можно пытаться решать прямыми методами, но в общем случае это неудобно.
Теперь можно установить связь с рассмотрением, проведенным в § 32. Мы ищем решение уравнения (33.10) только для
лаем сначала радикальное допущение о том, что примесь связана только с ближайшими соседями, и положим все остальные силовые постоянные равными нулю. Тогда вместо (33.10) получаем усеченную систему уравнений
где (/, к) включает только примесь и ближайших соседей. Эта система уравнений соответствует «молекулярному» приближению для динамики примесного атома и связанных с ним ближайших атомов матрицы. Напомним из § 32, что локальное колебание, существование которого здесь подразумевается, имеет симметрию
т. е. преобразуется как полярный вектор относительно операций
которому отвечает наибольшая амплитуда смещений примеси, нужно отнести, следуя § 32, к зонным колебаниям.
Наряду с молекулярным приближением решение системы (33.10) можно найти методом функций Грина [134], являющимся удобным для этой задачи вариантом теории возмущений [137]. Итак, определим матрицу
расположенной в узле г
П, П
(33.12)
из группы ^5 . Все колебания, за исключением Q/ из (33.12),
(33.13)
где еи (/) —вспомогательный параметр:
236
Глава 4
Тогда уравнения движения возмущенной решетки (33.10) можно переписать в виде
1\ ^ ( I I' \ ( V
+ фч(х x')“f(x')-
=,zc“«(*S)“»Q- <ззл5)
Эту систему уравнений можно рассматривать как неоднородную,
считая, что ее однородная часть удовлетворяет уравнениям
(33.1) для идеальной решетки. Поскольку система (33.15) по-прежнему описывает гармоническую задачу с квадратичным взаимодействием, существует преобразование к нормальным координатам
u“(x) = XX('\l)qh {ЗЗЛ6)
/
или
{зз,17)
/ха
Чтобы найти q!t нужно решить (33.15) или эквивалентное се-кулярное уравнение
I I' \ ( I I' '
(33.18)
Гх'|3 4 1
/ / Г I \
Определим функцию Грина Gapl , со I как глзменты мат-
\ УС УС I J
рицы, обратной матрице (33.2), т. е.
- “2м*с« (* ? И +1 ®-, (11') ¦(/ Г» 1 “) -
= 6 ау&и"&хк"- (33.19)
Функции Грина, удовлетворяющие (33.19), можно выразить через решения невозмущенной задачи:
k \ ik-(Ri~Ri»)
* ( I ^ ( " I ^ ''i
r(il" I ^ ^ *" у “ I f„ J *° С * Ы
“Р\Х к" Г/ А* (V ,11' Д1.7 I <¦>-( к I
*. ' <33'20>
Поскольку функции Грина удовлетворяют (33.19), мы можем переписать (33.18) в виде „интегрального уравнения"
Оптические свойства кристаллов с нарушенной симметрией
237
(33.21)
В справедливости этого уравнения можно убедиться прямой подстановкой в (33.18) с учетом (33.19). Для решения уравнения (33.21) можно использовать теорию возмущений, если число ячеек и узлов, подверженных влиянию дефекта, считать малым (т. е. учитывать только члены, связанные с примесью и ближайшими соседями). Уравнение (33.21), очевидно, можно переписать в виде
и если влияние возмущения ограничено малым числом ячеек, то условие существования нетривиальных решений уравнения (33.22) имеет вид
Таким образом, мы получаем неявное уравнение для со, которое при заданной матрице возмущения С имеет решения только для возмущенных частот; для этих частот можно найти также амплитуды w.
