Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Начнем с волнового вектора k = Г = (0, 0, 0). Очевидно, пространственная группа точки Г есть @(Г) = ®, т. е. полная пространственная группа. Группа трансляций ?(Г) = 3; совпа-
Теория пространственных групп алмаза и каменной соли
107
дает с полной трансляционной группой. Следовательно, фактор-группа
® (Г)/г (Г) = $ (Г) = 0Л (9.2)
является полной точечной группой пространственной группы 0\. Неприводимые представления точечной группы Он хорошо известны; мы приводим их характеры в табл. 4. Отметим, что, поскольку каждая операция трансляции имеет в этом представлении вид единичной матрицы, табл. 4 дает на самом деле неприводимые представления полной пространственной группы, включая и трансляции. Другими словами, каждая из операций поворота ф в таблице является полным смежным классом {ф|0}? группы ©.
Таблица 3
Координаты точек зоны для решеток алмаза и каменной соли
Точка Координаты1) Кратность
г (0, 0, 0) (1/a) 1
X (2л, 0, 0) (1/a) 3
L (л, л, л) (1/a) 4
w (2л, 0, — я) (1/a) 6
A (ч, 0, 0) (1/a) 6
A (x, x, %) (1/a) 8
Z (2я, 0, x) (1/a) 12
S (x, x, 0) (1/a) 12
G (2я, x, x) (1/a) 12
Л1 (xi, xi, x2) (1/a) 24
Q (x, я, 2я — x) (1/a) 24
N (xb x2, 0) (1/a) 24
P (xi, «2, 2я) (1/a) 24
k (xi, x2, x3) (1/a) 48
1) Координаты даются в компонентах проекций векторов на оси куба.
Рассмотрим *L. Обозначим через L\ канонический вектор из табл. 3. Тогда лучи *L суть
Li = (l, 1, \)ф, L2 = (l, — 1, — \)ф,
L3 = (-l, 1,-1)Ф, Ъ = (-1, -1, 1 )ф, (9‘6)
*L— {Lu L2, L3, Lt}. (9.4)
108
Глава 2
Таблица 4
Неприводимые представления группы 0Л; Г*'”* = © (Г)/2:
т е 86з хуг i62x 6V И2 ХУ i &a6xyz 60^ 6рху
i± 1 1 1 1 1 ±i ±1 ±1 ±1 ±1
2± 1 1 1 -1 -1 ±i ±1 ±1 Т1
12± 2 -1 2 0 0 ±2 т 1 ±2 0 0
15± 3 0 -1 1 -1 ±3 0 ±1 4=1
25± 3 0 -1 -1 1 ±3 0 Т1 Т1 ±1
Обозначения представлений в этой таблице и работе [66] находятся в следующем
соответствии: Г1+ = Г,, Г2+ = Г„, Г12+ = Г , Г15+ = г' , Г25+=Г' , Г|_ = г'
1 2 12 15 25 1>
Г2- = Г;, г12- = Г;2, г15--Г15, г25- = Г25.
Используя табл. 2, находим следующие собственные и несобственные повороты, относительно которых L\ остается инвариантным (с точностью до 2лBj):
е> Рху’ V у z' ^Зхуг’ ^Зхуг’ *> ^2 ху’ ^2хг’ ^2 уг> W6 xyz’ °6xyz ~ ^ (^l)"
(9.5)
Выбрав эти повороты в качестве представителей смежных классов {ф 10} и комбинируя их с ?, получаем пространственную группу ©(Li). Тогда полную пространственную группу ® можно записать в виде разложения по смежным классам ®(L 1):
© = © (?,) + {Ь2х |-0} © (I,) + {Ь2у 10} © (I,) + {62г 10} © (L{). (9.6)
Займемся теперь определением неприводимых представлений пространственной группы @(Li). Заметим прежде всего, что
группа трансляций i(L\) определена как набор всех RL, та-
ких, что
k • RL = I, • RL = 2тг, (9.7)
где п — произвольные целые числа. Из определения L\ имеем для любой трансляции Rl в J
h Ч- ^2 = 2л, п — 0, 1, ..., (9.8а)
или
/1 + /2+/з = 2п+1, /1 = 0,1...... (9.86)
Таким образом, все трансляции {e|/?z.}, обладающие свойствами (9.8а) и (9.86), отображаются в ®(Li) соответственно на единичную матрицу и на единичную матрицу, умноженную на —1.
Теория пространственных групп алмаза и каменной соли
109
Следовательно, полную группу трансляций ? можно разбить на смежные классы относительно ?(Li) следующим образом:
X = X{Ll) + {t\R'L}X(Ll). (9.9)
Любой элемент смежного класса, представителем которого является {е | представляется диагональной матрицей с элементами
ехр (гХ, • I?') = — 1, (9.10)
поскольку можно выбрать
{el*2} = {«IU. (9.11)
и поэтому
txy • Lx — n. (9.12)
Далее мы разложим ©(Li) по смежным классам относительно Z(Li). Представители смежных классов @(Li) в этом разложении принадлежат к следующим типам:
ы°). <9-13>
где (fL —один из поворотов (9.5). Тогда малая группа волнового вектора L\ есть ®(Li)/Z(Li) и имеет порядок 24.
Ясно, что неприводимые представления группы ®(Li)/?(Li) просто связаны с представлениями точечной группы S{5(Li) = D3d [68]. Таким образом, для допустимого неприводимого представления D{L')im) группы ®(Li) имеем в соответствии с (9.10)
о11'1(К I *„))=0,1,1I'»>)D<l1’" (Ы°}) =
=(— 1) D11'1((»10» 0|Ы m ({<тХ11 0}) — - D1"||П| ({фь 10». (9.14)
Следовательно, необходимо рассмотреть только неприводимые представления точечной группы D3d. Другой возможный способ формулировки этого результата заключается в утверждении, что матричная группа состоящая из матриц
^'’"(Ы0)) » 0,1,ИШ,(Ыи). (9.15)
изоморфна прямому произведению групп C2(g)D3d. Таким образом, добавление трансляций тривиально, если мы располагаем всеми неприводимыми представлениями группы 5p(L1) = D3d. В табл. 5 приводятся характеры неприводимых представлений точечной группы $(?i).
Чтобы получить таблицу характеров неприводимых представлений полной группы (m) исходя из D(?l) (m), мы
110
Глава 2
воспользуемся результатами т. 1, § 37. Соответствующая формула (т. 1, 37.3) имеет вид
x(*L) (m) (WP10» = z x(?l) (m) ({фо IО}-1 {фР 10} {ф* 10}). (9-16)
a
где {фст|0}—представители смежных классов, входящие в (9.6), афр — общий элемент группы ©. Теперь необходимо построить сопряженные элементы для множества всех элементов группы причем построение осуществляется представителями смежных классов {фа|0} из (9.6). Результат, который может быть легко получен, приведен в табл. 6. Имея таблицы сопряженных элементов (табл. 6) и характеров группы (табл. 5), мы теперь можем построить таблицу характеров полного неприводимого представления. В табл. 7 приведена система характеров пред-ставителей смежных классов {<рР|0} группы ®.
