Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Основой для рассмотрения комбинационного рассеяния света является гамильтониан, состоящий из гамильтониана свободного излучения, поля фононов и экситонов, а также членов наиниз-шего порядка, соответствующих взаимодействию между полями экситонов и фотонов и полями экситонов и фононов. Здесь следует заметить, что при таком выборе гамильтониана мы автоматически включаем в теорию часть важных взаимодействий. Можно было бы, например, возвратиться к началу рассмотрения предыдущего пункта, а именно снова рассмотреть одночастичный гамильтониан (6.84), построенный с помощью блоховских функций:
Жълох = ? е (k, р) с+ (к, р) с (к, р). кр
Если теперь учесть двухчастичное кулоновское взаимодействие в виде
ЖЕе = k ^k]^cV h, К К) с+ (к, о) с+ (ft2, с) с (Аз, с) X
X с (kit v) 6 (ki -f- k2 + k3 -f- ki),
то теоретический анализ показывает, что должны образоваться экситоны. Некоторые авторы [50] использовали этот подход, однако, он, по-видимому, не дает никаких преимуществ по сравнению с прямым введением экситонов на первоначальной стадии теоретического рассмотрения.
90
Глава 1
Таким образом, мы сразу записываем электронную часть гамильтониана через экситонные состояния:
ЖЕХ = Т> Еьл (с, v) <х+^ (с, v) а^ (с, v), (6.111)
где (с, v) — операторы рождения экситонов, которые, как мы будем считать, удовлетворяют бозевским соотношениям коммутации
[a;w(c> w)> аь'к' (с ’ v )]_ = (6.112)
Энергия Е^(с, v) экситона, образованного из состояний параболических зон (с и о) и имеющего «внутреннее» квантовое число К и волновой вектор К, связанный с движением центра масс, в случае связанного состояния равна
Еа.к = ЕЛ -,::?* -4-. (б-113)
h2K2 R'
8 ' 2{m*e + mh)
где n== 1, 2, ..., а в случае состояния сплошного спектра
h2K2 . h2h2
g ' 2("С+«л) 2ц
где R'= [хе4/2й2и2 — постоянная Ридберга для экситона (и —диэлектрическая проницаемость), т*е и m*h — эффективные массы
электрона и дырки, Eg — ширина прямой запрещенной зоны,
ц-1 = т*-1 + ЩГХ ~ приведенная масса.
Волновую функцию экситона достаточно взять в приближенном виде
К’ '*) = С**«ик (Р) ЧГе (г.) % (гд), (6.115)
где
К = 1(ге + гА) (6.116)
есть средняя координата электрона и дырки;
Р = ге-гЛ (6.117)
есть координата относительного движения электрона и дырки; С^(р)—модулирующая функция, зависящая от внутреннего квантового числа Я; Ч'Дгс) и ^(г^)— блоховские волновые функции электронов и дырок. Модулирующая функция выбирается с учетом того, что i может соответствовать дискретным состояниям (п = 1,2,...) или состояниям сплошного спектра (зависящим от k) . При k Ф 0 следует учитывать пространственную дисперсию.
Взаимодействие излучения с веществом
91
Для описания поля невзаимодействующих фононов и фотонов мы будем использовать те же члены, что и в (6.84). Гамильтониан взаимодействия будет теперь содержать сумму экситон-фононного и экситон-фотонного слагаемых, причем мы будем учитывать лишь члены наинизшего порядка, дающие вклад в комбинационное рассеяние света первого порядка. Они записываются в виде
ЖЕхя = Ц, v, с)а^(с, и)ал6б-л, (6.118)
kr\VC
где f — функция, определяющая экситон-фотонное взаимодействие и связанная с исходной функцией электрон-фотонного взаимодействия / из предыдущего пункта соотношением
f <*, г, _ N'h (•?) (у^-У’ К Л. К (0) I <*¦ 1. О, С).
(6.119)
Экситон-фононное взаимодействие следует также выразить через зкситонные переменные. Это взаимодействие можно записать в виде
^ ^ (с, v> Я> К, с', v', Я', K')a+jj(c, и) аА,*, (с V) X
XbU(K-K' + k') + компл. сопр., (6.120) где функция, определяющая взаимодействие, равна
G(c, v, Я, К, с', v', Я', *') = (-2^),/2Х
X (—) S [<с 1310^ (С, о, Я, К, с', v', Я', K')bvv-~
i
-{v'l 3jv) qn (с, v, А, К, с', v', Я', К') Ьсе’, (6.121)
где
qe(c, v, Я, К, с', v', Я', К') =
= Е V]vKW (Р) Uc,v,vW, (Р) ехр i (К — К') • Р, (6.122)
Р
qh (с, V, Я, К, с', vЯ', К') = ? (р) UcWK, (р). (6.123)
Э
Таким образом, полный гамильтониан в экситонном представлении имеет вид
= <ЖЕх + + <MExl + 3@Ехп> (6.124)
где явный вид слагаемых в (6.124) следует из (6.84), (6.118) и (6.120). Структура* гамильтониана, описывающего комбинационное рассеяние света через экситоны, вполне аналогична структуре гамильтониана при блоховском описании электронов.
92
Глава 1
Действительно, опуская все индексы, получаем
M = Yj Еа+а + Z Ы (Ь+Ь + у) + Z Ыа+а +
+ Ga+ab+ + faa+ + компл. сопр. (6.125)
Для нахождения сечения комбинационного рассеяния света, соответствующего этому гамильтониану, следует действовать так же, как при блоховском описании. Отметим, что волновые функции, соответствующие веществу, теперь другие. Точнее, отличаются электронные части волновых функций. Все электронные состояния (начальное, конечное и промежуточное) являются экситонными состояниями диэлектрика. Ниже мы используем это утверждение в более конкретной форме. Гамильтониан (6.125) можно преобразовать аналогично тому, как это сделано в предыдущем пункте параграфа, разбивая гамильтониан на невозмущенную часть Жо и возмущение Ж\ и выполняя затем каноническое преобразование
