Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Н1 = щ + е*Н0е~*, (29)
где
I»/(»/“, + т) + н.,г- <30>
1
здесь а+ и — операторы рождения и уничтожения фонона частоты о/, ev — унитарный оператор сдвига, в котором
v-Zlo ,(«?-<¦,): (31)
llj — стоксовы потери, приходящиеся на осциллятор /; #анг — оператор энгармонизма; o>i — частота чисто электронного перехода.
В этой модели спектр РВС при монохроматическом возбуждении, согласно (5), описывается формулой
оо оо
/ (©о, Q) = -Цг ^ dy. ^ dx dx' X
— оо О
Xexp[t'(Q —©o)(i —t(©i—©о)(т' —т) —у(т + т')]/4(ц, т, т'), (32)
где
А Ох, т, т') = (е?е-v (t')ev (n+t')e-v (ii+t'-t))0 (33)
(V (x) = eiH>xVe-iH"x). Таким образом, в рассматриваемой модели задача нахождения РВС сводится к расчету коррелятора (33). В случае малого энгармонизма укзззнный расчет легко выполним с помощью теоремы Блоха о парных корреляциях [25]. Действительно, A(\i, т, т') можно переписать в виде
оо
А(|х, т, T') = Wo = ?i<PLn>0’
п=»0
где
I = V - V (тО + V (р + т') - V (fi +. т' - т),
Резонансное вторичное свечение примесных центров кристаллов 339
s Р--знак упорядочения, располагающий операторы в том порядке, в котором они фигурируют в формуле (33). Для линейного оператора, согласно отмеченной теореме, (PL2k)Q — (PL2)» X X (2k)l/2k • k\, a {PL2k+l}o = 0. Поэтому
А (Ц, t, t') = exp (y (PL2)o) = exp {g (ц) + g (ц + r' — t) +
+ g CO + g (— t) — g (|i + tO — g (ц — t)}, (34)
где функция
g (x) = (V2)o — (VV (*)>„ (35)
определяет логарифм фурье-образа спектров поглощения и люминесценции [15]. Таким образом, в рассматриваемой модели все релаксационные свойства трехвременной корреляционной функции целиком определяются функцией g(x). В гармоническом приближении эта функция равна
g(x) = Z f0I[(ei&ix - 1)(Я, + 1) + {е~ш1х - 1)п,], (36а)
где rij = [exp(aj/kT)— I]-1 есть среднее число фононов частоты со/ при температуре Т. В случае малого энгармонизма основной эффект, связанный с его учетом, состоит в перенормировке частот фононов и в их затухании. При этом [5]
g(x)^Zl ад[(в'“/*-Г/|*|-1)(й/ + 1) + (в-,“/*-Г/,*|-1)п/], (366)
где Г,- — константа ангармонического распада, а со/ — перенормированная частота фонона j.
Из приведенных формул следует, что при х— ±оо g{x)~*fo,
где f0 = (V2)=Z^o/ (2«у + 1), как известно [21], определяет
логарифм вероятности бесфононной (чисто электронной) линии. По порядку величины f0~S(2tt+l), где 5 — безразмерные стоксовы потери. По своему физическому содержанию g(x) — f0 описывает временное развитие когерентного колебательного пакета. Область времени |jc], в которой эта функция заметно отлична от нуля, определяет характерное время расплывания этого пакета Г-1. Это время в рассматриваемой модели, очевидно, и является характерным временем энергетической релаксации: Г = Гг. Из формулы (36) следует, что время Г-1 не может быть короче среднего периода колебаний 2л/а (со — средняя частота фононов). В тех случаях, когда нет медленно затухающих локальных ( или псевдолокальных) колебаний, Г-1 сравнимо с ю-1. Если такие колебания есть, то Г-1 может достигать многих периодов колебаний. Однако, как отмечалось, в обычных быстро релаксирующих центрах всегда Г < у,
340
Дополнение 2
б. Обычная люминесценция. Из приведенных выше свойств функции g(x) следует, чтоЛ°(ц, у)= lim Л(ц, s, у) — exp [g (ц) +
5->оо
+ <?(*/)] (как и раньше, s + (т + т') /2, у — ц + т' — т). Подстановка A°(\i,y) в (32) действительно дает формулу (17), причем в рассмотренной модели нормированные на единицу спектры поглощения и люминесценции имеют вид
х(соо)
J(Q)
Как известно, при слабом и среднем электрон-фононном взаимодействии (S,<Cl) основной вклад в эти спектры дают бесфононный переход, а также переходы с рождением небольшого числа фононов. В этом случае указанные спектры, как правило, имеют четкую квазилинейную структуру. При этом форма парциального спектра л-фононных переходов определяется сверткой n-го порядка функции
00
ф М = "5Г S d%e~ixx [g (х) — /о]. (38)
—00
При сильном электрон-фононном взаимодействии (S Э- 1) основной вклад (по интенсивности) в эти спектры дают много-
фононные переходы. Поэтому указанные спектры также имеют большую по сравнению с й ширину, а их форма хорошо описывается гауссовой кривой:
й К) = - ;^==г ехр {— (со0 — шх)2/2т2},
V 2 (39)
/ (Q) = • exp {— (Q — c0i)2/2 m2}.
-у2л«2
Здесь
CO?. = COI—/ИЬ (йх — Щ + Ши mi — первый, a m2—второй момент ср(л:):
Щ — g (0) = Z lo/05/ ~
m2 = g{0) = Z gg/n? (2й, + 1) ~ S<o2 (2ii + 1).
в. п-фононное резонансное рассеяние. Спектр РВС, определяемый формулами (32)—(36), можно представить в виде раз-
= -1— ^ dyei (a>I-a>ii)y+g(y)-2\lyl>
— ОО
(37)
— -J— ^ dy,ei (й -G)i) Ц+g (Я) -2y | UI.
Резонансное вторичное свечение примесных центров кристаллов 341
ложения по порядку рассеяния на фононах. Для этого следует переписать коррелятор А (ц, х, х') в виде
оо
Д(щ х, t') = eg(T')+g(-T)2] (ц, х, О, (40)
где
К (И-, Г, %') = g (ц) + g (ц + х' — х) — g (и- + х') — g (ц — т) =
оо
= ^ dxeix>lф (х) (elxX' — 1) (e~ixx — 1). (41)
— оо
Подставим разложение (40) в (32) и проинтегрируем по ц. Мы получим
