Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
линейных комбинаций имели место соотношения (75.8), (75.9). Эта программа будет реализована далее, начиная с § 80, где вводятся комплексные нормальные координаты.
§ 76. Кристаллическая симметрия и преобразование нормальных координат qj
Возвратимся к обсуждению § 73. Нормальная координата а, является проекцией w на собственный вектор \е> 1 аналогично (73.1) и (73.4): Р
(76Л)
i р
200
Глава 6
Рассмотрим поле повернутых смещений Его можно выразить через поле исходных собственных векторов кг-
В (76.2) новые, повернутые компоненты , или опре-
Равным образом мы можем выразить повернутые смещения [да{ф)] через повернутые собственные векторы [е{Ф) / ]. Легко
видеть, что в этом случае
где qlp те же, что и в (76.1). Сравнивая (70.7), (74.7) и (76.1)
Уравнение (76.3) выражает тот хорошо знакомый из векторного анализа результат, что компоненты повернутого вектора в повернутых осях те же, что и компоненты неповернутого вектора в исходных осях. В нашем случае компонентами повернутого вектора являются величины q/f).
Чтобы определить q{v} f из (76.2), мы воспользуемся (74.6). Из (76.2) и (72.19) следует
(76.2)
деляются как проекции поля повернутых смещений на [вдо; ].
(76.3)
имеем
(76.4)
р
(76.6)
Пространственные группы и классическая теория колебаний решетки 201
Отметим то существенное обстоятельство, что для получения
(76.5) при переходе от второй строки к третьей мы воспользовались соотношением (74.6).
Важно понимать, что из (76.5) можно вывести правило, по которому «преобразуются» координаты qj(>. Так как qi(j являются абстрактными динамическими переменными, не имеющими простой связи с обычными физическими смещениями, необходимо установить специальные правила их преобразования при действии оператора P{<t\t). Эти правила можно найти, используя трансформационные свойства функций (скалярных, векторных и тензорных) координат в конфигурационном пространстве. Вообще говоря, эти <7у сами по себе не являются функциями ко*
ординат конфигурационного пространства. Это обстоятельство может быть причиной недоразумений, и важно различать правила преобразований физических величин (например, смещений) от правил преобразования, установленных математическим способом. Мы можем тогда написать
Снова отметим, что ?>(/) является вещественным неприводимым представлением @, определенным в (75.5).
Следует подчеркнуть, что использование (74.6) эквивалентно предположению в нашем анализе о существенном вырождении. Это проявляется при использовании условия полноты набора собственных векторов [®/р] при фиксированном значении <о^.
С другой стороны, общее разложение повернутых нормальных координат в ряд по полной совокупности [в/р] для всех частот имело бы вид
и
Е Е [«, j %,= Е Е [*„,j ч,' (76-6) Е о'" (Сф | *}W V <76'7>
202
Глава 8
Это выражение должно быть тождественным (76.5), что не очевидно. Действительно, сравнивая (76.8) с (76.5), имеем
,??e'U'*Ke<UkK-
-ijz-.ckM::!'-. )}•..-
= ?{0</>({ф (76-9) г р' р
и, производя сопоставление с (74.9), получаем
2>« (* к)»«а ('*! '»•)=°ф|v <76-ю»
у.1а 6 ф
Видно, что (76.10) выражает ортогональность собственных векторов, относящихся к различным множествам (различным значениям <о^, аналогично определению (74.9) для коэффициентов преобразования из одного множества. Используя определение обратного поворота, можно, по-видимому, установить, что
(76.10) полностью эквивалентно (74.9). Этот вывод получен теперь двумя различными, но связанными способами. Короче говоря, (74.9) и (76.10) дают просто матричные элементы матрицы D<>\ с помощью которой собственные векторы, или нормальные координаты, преобразуются через линейные комбинации компонент преобразованных и исходных собственных векторов.
§ 77. Преобразование Фурье
Рассмотрение в § 68—76 показало, что совокупность всех нормальных координат qlp является сама по себе базисом полных неприводимых представлений /)(**)(т) группы ©. Предположение о существенном вырождении было весьма важным в этом анализе. Следующий шаг в нашем рассмотрении состоит в определении правильных линейных комбинаций qjp, которые
являются базисом неприводимых представлений группы
®(k). В нескольких следующих параграфах мы построим базисные блоховские векторы, которые осуществляют приведение ?. Мы установим их связь с фурье-компонентами смещений, динамической матрицей и собственными векторами динамической матрицы. Будут определены возникающие в таком рассмотрении комплексные нормальные координаты, для которых будут уста-
Пространственные группы и классическая теория колебаний решетки 203
новлены правила преобразования под действием операторов из ©(&).
Напомним выражения (24.7) и (24.10), которые мы теперь перепишем в таком виде:
HL
И
т-ч ( ехр ik- R, \ / ехр ik ¦ R,
?(-7Г^)(-7Г^)=6- <77'2>
Ранее эти соотношения были получены из соотношений ортогональности и нормировки для строк и столбцов неприводимых
представлений трансляционной группы %. Они также могут рассматриваться как набор соотношений полноты для совокупности функций
-±=- ехр ik • RL, (77.3)
