Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
где А— диагональная матрица, составленная из собственных значений:
(72.23)
(N— II \ (N- II \ (N-1 \
( г гМ г И - ч г мг)
Е~1 = Ё.
Используя (72.24) и (72.16), мы получаем
Я-1 [/>]? = Л,
(72.24)
(72.25)
ш? О О
Пространственные ёруппы и классическая теория колебаний решетки 193
Каждое собственное значение матрицы [Z>] появляется в (72.26) столько раз, какова его степень вырождения. Заметим, что конкретный вид (72.26) следует из условий ортогональности и нормировки (72.17), (72.18).
Из свойства полноты набора (72.15) следует, что если [е/и] — произвольный собственный вектор матрицы [D], соответствующий значению со?, то необходимым образом
Щ\]=аЫ ' (?2-27)
Тогда [е/ц] можно выразить в виде линейной комбинации элементов совокупности (72.15):
Ч
К]=Е(р|«)[е/о]. (72.28)
О = 1 ‘
В компонентах (72.28) записывается в виде
еа ^ х I iv ) == Z (р I и)еа ^ к | ip ) • (72.29)
р
Коэффициенты (р| v) определяют число раз, которое собственный вектор [е/р] возникает в [?/„]. Используя (72.17), (p|i>)
можно определить следующим образом:
(р I V) = ? еа ( 1| ip ) еа ( 1| iv ) = («V 8/»)- (72'30)
и 1а
Отметим, что совокупность (72.15) образует некоторое неприводимое линейное векторное пространство (л») группы <3 (это утверждение будет доказано ниже). Индексы /, р настоящего параграфа мы должны будем связать с индексами k, m, характеризующими это неприводимое представление, способом, который будет установлен ниже.
§ 73. Вещественные нормальные координаты qj
Чтобы ввести совокупность нормальных координат, следует записать смещение (72.1) через полный набор собственных векторов. Другими словами, мы должны взять
а’«(!с)=ЕЕе»(1|/р)ч- (73Л)
/ р
Здесь qs — вещественная, зависящая от времени переменная, которую, согласно (73.1), можно понимать как коэффициент
194
Глава 8
разложения вектора w по собственным векторам [вj ]. Используя (72.19), обратим соотношение (73.1):
qi,
Kla
(ilp==Z\el9\'W- (73-3)
Таким образом, qjp является проекцией w на [е/р]. Мы можем также переписать (73.1) в форме
w = ]?Zt>/p]4- (73>4)
Беря временную производную от (73.4), имеем
(73.5)
1 р
Кинетическая энергия (67.14) записывается через скалярное произведение (72.17) в виде
Т —
2
1 и • м =4 Е Е hP] • [%] =т Е (73-6)
/Р ! Р ' /о
где мы использовали (72.19). Для потенциальной энергии (67.8) или (67.13) тогда имеем
У = 4 (“] f“l = Т ’ ДО ’ ^ ’ (73-7>
где m определено в (72.3). Подставляя (73.4) в (72.16), получаем [/>] [»]=?? 1 Я, • (73.8)
/ р L ypJ 7р
Следовательно,
?»![%]-[ч]«/А“ <73,9)
<73•10,
/р
Соответственно классический гамильтониан имеет вид
/г
Соответствующие уравнения движения:
Пространственные группы и классическая теория колебаний решетки 195
Следовательно,
*,р + со^.р - °, / = 1, .. .; р = 1, (73.13)
Возможность получить независимые уравнения (73.13), очевидно, оправдывает название нормальных координат для <7, . При нормальном колебании возбуждается координата qjp. Временная зависимость координаты имеет вид
( sin (Hit,
q, (0 = tf'e(0)< ' (73.14)
'p 'p I cos (S)jt.
Для классического кристалла, в котором возбуждено одно нормальное колебание, смещение (73.1) равно
““ (1)¦-(¦жУ-(110V(0){<73:15)
В этом случае все атомы осциллируют с частотой со/; относительные амплитуды смещений атомов определяются компонентами собственных векторов [е/р]. Обычно бывает невозможно возбудить отдельное нормальное колебание, можно только специально рассмотреть произвольное смещение на частоте (О/. Наиболее общую ситуацию тогда можно описать как суперпозицию вырожденных нормальных колебаний с частотой а>/:
“-(!)=(vt)z(11¦>-)<о){сГ//. <7з->«>
Величины qs.>0 (0) являются константами, которые можно найти о
из начальных условии.
Выбрав собственные векторы вещественными, мы получим
вещественные иа{^^< если q^с (0) выбраны тоже вещественными. В последующем изложении мы будем считать, что это уже сделано. Для общности было бы необходимо взять в (73.14) —
(73.16) фазу в виде (со^ + б/), но обычно мы будем принимать
бI » 0.
§ 74. Кристаллическая симметрия и собственные векторы [ej] матрицы [D]
Основное свойство полноты собственных векторов [в/0] динамической матрицы для заданной частоты вц, как и в (72.28), допускает применение теоретико-группового анализа. Возвращаясь к уравнениям движения (72.7) или (72.16), мы преобра-
196
Глава 8
зуем их с помощью оператора преобразования Р{Ф|<}:
(74.1)
Однако из (71.17) и (71.23) следует
Р& 11) [D] Р{» 11) = [O'] = [?>]•
(74.2)
Поэтому
^ P(f 11) [e/p] — ®/P{<p | <} [e/J-
(74.3)
Это эквивалентно выражению
где
ДО [*«/р] —®/[«{*}/J*
[вИ/р]“Р<*и>(Лр}
(74.4)
(74.5)
Далее возможны два разных подхода. Во-первых, заметим, что благодаря полноте совокупности [е;- ] из (72.15) преобразованный собственный вектор / ], являющийся собственным вектором для частоты и**, можно записать как линейную комбинацию векторов базиса:
Индекс / в (74.6) сохранен, чтобы указать, что собственные состояния относятся к со?. Следовательно, I. собственных векторов из (72.15) являются базисом для представления D(/) группы операторов ©р. Доказательство можно проследить в § 14, 15.
