Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Из определения потенциальной энергии (67.6) следует, что матрица силовых постоянных [Ф] вещественна. Это с§ойство
^ (1* 1Л=
Лхф к)
ч Ф ф /
J и как преобразованное выра-
Пространственные группы и классическая теория колебаний решетки 189
можно записать для наших целей с помощью действующего на [Ф] оператора К (аналогично (70.36) и последующим уравнениям):
/С[Ф]/С_1 = Ф’ = Ф- (71.25)
§ 72. Решение уравнений движения.
Собственные векторы [ej\
В нескольких следующих параграфах будет показано, что благодаря пространственной симметрии в конфигурационном пространстве решения уравнений движения (67.19) строятся в неприводимых векторных пространствах. Каждое такое неприводимое векторное пространство является базисом (s-lm)-мерного неприводимого представления @ и связано с определенной собственной частотой уравнения (67.19).
Чтобы решить (67.19), мы поступим обычным способом [4]. Определим новые координаты w следующим образом:
(72.1)
Зависимость от времени можно взять в виде w„
где — не зависящие от времени амплитуды. Если мы
определим
DaJl Z/) = ^J=Oap(Z (72.3)
“Р \ к к ) р \ и х /
то уравнения движения (67.19) примут вид
I'x'Q
Чтобы записать эти уравнения в сжатой форме, воспользуемся формой записи (67.11) — (67.18). Для этого определим матрицу-
столбец га, элементами которой являются ?а ^ ^ ^, и матрицу
// /' \
[D] с компонентами Dap I I- Тогда (72.4) можно переписать в форме
[ДШ = Г«>2/][!], (72.5)
где [/} — единичная матрица, и2 — собственные значения в за-
даче динамики решетки, которые подлежат определению.
190'
Глава 8
Система (72.5) разрешима, если соответствующий вековой определитель равен нулю:
' I ?>аВ ( , 1 — <й2бавб;гбкк' I = 0. (72.6)
' ' I
Записанное в такой форме уравнение (72.6) имеет 3rN корней со2, / = 1, ..3rN.
Рассмотрим некоторый собственный вектор, являющийся матрицей-столбцом из 3rN элементов и относящийся к собственному значению coj уравнения (72.5). Обозначим этот собственный вектор через [е;], и тогда (72.5) примет вид
[Л] !>/]=. И? [в/]. , (72.7)
Компоненты [е,] удобно обозначать как Тогда для
этого собственного значения (фиксированного /) уравнение
(72.7) принимает вид
—к(110+ s №8)
г'х'ц
Очевидно, компонента матрицы [е;] является умноженной на a-компонентой не зависящей от времени
амплитуды смещения атома, который первоначально был рас-
положен вг^ j, когда в решетке возбуждено /-е нормальное
колебание с частотой со/.
Из (67.8) — (67.10), (71.25) и (72.3) следует, что матрица [D] неотрицательна, вещественна и симметрична:
[D]> 0, (72.9)
[/>] = [/>]*, (72.10)
[Я] = [/>]. (72.11)
Для такой матрицы собственные значения вещественны и неотрицательны:
(о2>0, " , (72.12)
Собственные векторы такой матрицы [D] образуют полный набор; независимо от вырождения их можно взять вещественными и удовлетворяющими условиям ортогональности и норми-
Пространственные группы и классическая теория колебаний решетки 191
ровки в обычном смысле:
(72-13)
и/а 1
у1, еа ^ ^ | /^ ^ | /^ = ^аВ^/гбии'- (72.14)
Чтобы учесть возможное вырождение, нам придется ввести еще один индекс. Если линейно-независимые собственные векторы
Ы’ — Ьр]..........[%] <72Л5>
удовлетворяют уравнению (72.7):
™ [%]=“?[%]' (7216)
то условия ортогональности и нормировки (72.13) и (72.14) можно взять в виде
•Ee-CkM!J'0“4«v-' (72л7>
и/а
2 2 е“(х I (х' I = (72.18)
/о
Чтобы получить условия ортогональности и нормировки (72.17) и (72.18) при наличии вырождения, мы должны выбрать произвольную линейную комбинацию вырожденных собственных векторов. Это всегда можно сделать, используя процедуру ортого-нализадии Шмидта—Грама.
Равным образом, мы можем рассматривать некоторый вектор [е/р] как матрицу-столбец с 3AV строками, каждая компонента которого имеет три индекса и/a. Тогда (72.17) можно интерпретировать как условие ортогональности в смысле скалярного произведения ')
KJ'[%]=('v %)=S»V (72-19>
Аналогично можно определить матрицу-строку [eaix] из 3Nr столбцов, где каждый из столбцов характеризуется индексом /р. Тогда (72.18) определяет еще одно скалярное произведение2)
[ва/и] : [еВ/'и'] — (ва/и> еВ/'и') = fyxB^/Ах'. (72.20)
>) Скалярное произведение с одной точкой является суммой по ч/а.
2) Скалярное произведение с двумя точками является суммой по /р.
Г лава 8
Полный набор собственных векторов-столбцов
[в/р], /=1,...; Р=1....I, (72.21)
можно расположить в виде матрицы с размерами (3Nr)X (3Nr). Аналогично полный набор собственных векторов-строк тоже -можно расположить в виде матрицы с размерами (3Nr) X (3jVr):
Эти матрицы (построенные либо из таких строк, либо из таких столбцов) одинаковы. Назовем эту матрицу Е. Тогда строки матрицы Е нумеруются тремя индексами и/а, а столбцы — индексом /р. Записанная по такому правилу, матрица Е с размерами (3Nr) X (3Nr) имеет вид
Выписывая (72.23), мы приняли, что I меняется от 0 до jV—1 только из соображений удобства. Условия ортогональности и нормировки (72.19) и (72.10) показывают, что столбцы и строки матрицы Е являются ортогональными векторами. Следовательно, Е — вещественная, унитарная или ортогональная матрица:
