Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Е-> ? , (70.34)
так как суммирование идет по всем атомам кристалла один и только один раз. Отсюда, используя обозначения (70.2), получаем
(и, и) = (иф, Иф). (70.35)
Очевидно, что это верно для всех в группе операторов преобразований ®р, изоморфной пространственной группе ©. По-
этому оператор P{<t\t), определенный соотношением (70.7), унитарен.
После смещений [и] вещественно. Рассмотрим теперь оператор К, соответствующий комплексному сопряжению:
(70.36)
Пространственные группы и классическая теория колебаний решетки 185
Из вещественности физических смещений следует
*““0-“-(*)• <7о'з7) Согласно (70.7) и (70.37), имеем
11 (v)}ua ^ ^ ^ = P{<t I t}Kua ^ ^ ^ = Р{Ф | t)Ua ^ ^ ^. (70.38)
Последнее равенство следует из (70.37). Окончательно из вещественности смещений следует
(Ки, Ки) = (и, и). (70.39)
§ 71. Общая симметрия и матрица силовых постоянных
Физический смысл соотношений (70.7) и (70.11) состоит в том, что в’^результате преобразования Р{Ф|/} в узле решетки
С)
возникает преобразованное смещение <р-и, которое перво-
(Н
\ щ J
начально относилось к эквивалентному узлу решетки
\ .
Выберем Ц(Ф) (1:) из (70.11) в качестве основных динамических
переменных в задаче о колебаниях решетки. В этих переменных выражение (67.8) для V имеет вид
ЧЕ 1’)(“Д-(у)' <7М>
а' \ ЛФ / \ % лф / \ л<р /
(71.2)
(0)
ф ф"
где в новых переменных
/ /ф /' \ г___________сРФ________
Ф“тI \ < J [а(«(А,(?)а(?)
Для фиксированного значения {ф} суммирование по 1^ и /'и' в (71.1) можно заменить на суммирование по 1к и 1'к'. Для сравнения с (67.8) преобразуем (71.1) следующим образом. По правилу дифференцирования сложной функции имеем
д . ____V1 dUa (и) д_____. у» д
i \ 2-i ^аа'"
д (“»))„' (xj ) lm д (“м)а (^ •“* 5и“(и)
(71.3)
186
Глава 8
В (71.3) каждая компонента преобразованного вектора смещения считается зависящей от всех 3rN компонент первоначальных смещений. Затем, подставляя (71.3) в (71.2) и используя
(71.7), найдем
' L С
ф-иУ=?Ь.лл.(Ц') «"-А
или
Ф“'в' («ф < ) = 5 (ф~1)а'“Фар( х х') (71‘5)
Подставим теперь (70.11) в (71.1) и запишем сумму по /х и /V; тогда получим
V ~ ~2 Z Z фа<А ( х ) Фа'В' f х х' ) 4>BP'UB ( ) • (71 -6)
/иа' ай \ Ф ф /
/иа' аВ Ги'В
Затем, перегруппировав члены, найдем
*;)ф|» }“»(*')¦ (7L7)
Ги'В
Сравнивая (71.7) и (67.8), видим, что так как V является инвариантной величиной, то
Ф“Р ( X х' ) = 2 <Раа'Фа'В' ^ВВ" <71 ’8)
Или если мы возьмем преобразование, обратное (71.8), то с помощью (70.12) получим
1;)=Е».Л»(1 '-К= <71-9>
=Е(ч,"иф«»(1Юф»»" (7U0)
Из (71.1) — (71.10) видно, что матрица силовых постоянных со штрихом соответствует полю преобразованных смещений. Таким образом, мы можем считать, что штрихованная матрица силовых постоянных получена преобразованием нештрихованной матрицы. Наиболее просто это можно увидеть с помощью
Пространственные группы и классическая теория колебаний решетки 187
матричной записи (67.13). Итак, обозначим через [иад] матрицу
Но (71.17) означает также, что матрица [Ф] под действием операций симметрии кристалла преобразуется как тензор второго ранга. Те же соображения, которые привели нас, к (69.4) и
(69.5), пригодны и для [Ф']:
Воспользуемся теперь явно свойствами преобразований симметрии кристалла, переводящих кристалл сам в себя. Это означает, что преобразование точечной симметрии/’{фю связывает две точки г и г{(р), в которых кристалл обладает одинаковыми физическими свойствами. Если мы будем считать, что тензоры Ф] и [Ф'] описывают физические свойства в данной точке, то требование симметрии означает, что
столбец из элементов
взяв
F = |[«][Ф] [и],
У — J [“] Р{? I t)P{41 t) [ф] Р{ф I t}P{ф I t] [и]
(71.11)
(71.12)
и учитывая, что
Р{Ф|<} [«] = [«{Ф)],
(71.13)
получаем
(71.14)
(71.15)
У = у [“!<•>)] [Ф7] [«{»}].
(71.16)
где
[ф'] = Р{ф 11] [ф] Р(Ф| t].
(71.17)
Если обозначить компоненты [Ф'], как и
и раньше, через
то (71.16) и (71.1) оказываются одинаковыми.
(71.18)
где
(71.19)
или
(71.21)
(71.20)
188
Глава 8
Важно понимать, что из (71.20) и (71.21) следует, что преобразованием симметрии является такое преобразование, которое сохраняет функциональную форму тензорного (матричного) поля [Ф]. В этих соотношениях мы приравниваем одинаковые компоненты (индексы сф) штрихованной и нештрихованной (преобразованной и исходной) матриц, взятые в одной и той же точке поля. Совокупность двух точек поля может равным
(IV'
образом описываться как I ,
\ X X
жение L «/г Наоборот, соотношения (71.4) и (71.5) уста-
\ ф ф у
навливают соотношение между матрицами силовых постоянных в двух различных совокупностях точек, связанных преобразованием симметрии {ф|/}. Соотношения (71.20) и (71.21) демонстрируют инвариантность физического тензорного поля [Ф]. Опуская координатные индексы, можно переписать (71.20) и (71.21) в виде
Фар = ФаВ (71-22)
или
•Р{ч> I т (<р)> [Ф] Р(я т («р» = [Ф7] = [Ф]. (71.23)
Подставляя (71.9) в (71.20), имеем
ЕЕ<Раа'Фаэ(х ^ =
(71'24)
Из (71.8) и (71.24) можно получить соотношение, обратное
(71.24). Физическая интерпретация (71.24) состоит в том, что это соотношение устанавливает связь значений одного и того же тензора, а именно физического тензора силовых постоянных [Ф], в двух совокупностях эквивалентных точек, связанных операциями пространственной симметрии. Используя (71.24), можно определить минимальный набор ненулевых элементов матрицы силовых постоянных (параметров связи) для любой заданной пространственной группы,' придавая операции симметрии {ф|т(ф)} значения либо всех элементов группы ©, либо по меньшей мере тех элементов, которые дают независимые результаты. Этот вопрос обсуждался Либфридом [5, 6] и Лэк-сом [68].
