Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
фар^г)(ф)аз- (70.4)
В (70.4) мы обозначили через D(r) матрицу преобразования, по которому преобразуется обычный полярный вектор. Таким образом, аналогично § 5 мы можем написать
г' = r{f) = Ф • г — D<r> (ф) г, (70.5)
и (70.5) следует теперь сравнить с (5.9). Возвращаясь назад к
(70.2), видим, что компоненты и при поворотах преобразуются друг через друга аналогично компонейтам произвольного полярного вектора, например радиус-вектора. Уравнение (70.2) тогда устанавливает линейное однородное соотношение между компо-
Пространственные группы и классическая теория колебаний решетки 181
нентами векторной функции и и компонентами векторной функции И{ф>. Но, кроме того, можно сказать, что преобразование Р(Ф|<} производит также одно-однозначное отображение. Следовательно, помимо поворота компонент векторного поля и оно показывает, что повернутые компоненты следует брать в преобразованных точках поля. Окончательное полное правило, описывающее действие оператора преобразования на и, имеет следующий вид:
(P{V I <}И)а (г) = Z фарИр ({ф I *Г‘ г). (70.6)
р
В кристаллической решетке и определено только в узлах решетки, так что (70.6) следует записать для г в виде
- (“м)<*(х )==2фаРмр(Хф)- (70-7)
В (70.7) мы использовали условное обозначение
{<P|f}-1,',(^) = qTI . — ер-1-* (70.8)
или
(Ж9>
С другой стороны, если определить >
<7<ш>
то можно записать преобразование, обратное (70.7):
(И{ф})а^и ) = Е Фарыр ( к ) • (70.11)
<р р
Из ортогональности преобразования <р следует
Z ФлцФлу = Z фцафуо = 6HV (70.12)
Я О
Используя (70.12), мы можем записать преобразования, обратные (70.7) и (70.11). Из (70.11) имеем
X Е Ф“рыр f х ~ X (aw)a ( к ) (70.13)
п п Ф
182
Глава 8
или, используя (70.12),
UV
a т
a ^
(70.15)
(70.14)
Из уравнения (70.7) имеем
a
(70.16)
Используя (70.4), выражения (70.14) — (70.16) можно записать через D(r).
Не боясь быть многословными, подытожим теперь результаты. Преобразование координат {ф|*} можно записать в виде
где RM — вектор решетки и т(ф)—нетривиальная трансляция. Под действием такого преобразования радиус-вектор точки
Важно хорошо представлять себе, что сокращенное обозначение в левой стороне равенства (70.20) эквивалентно полному выражению, выписанному справа. Другими словами, справа просто явно выписано все то, что подразумевается слева. В частности, выписаны по отдельности чисто решеточное преобразование + и нетривиальная трансляция «р-г* + т(<р) координаты точки, что удобно для последующих ссылок.
Аналогично для соотношения, обратного (70.17), имеем
{ф1*} ‘ — {«Р Ч —Ф 1-*(ф)~ Ф-1 • #м} = {ф-ЧФ-1’0- (70/21)
{ф\t} == {ф | т (ф) + ДдЛ.
(70.17)
преобразуется следующим образом:
(70.18)
или
(70.19)
где
(70.20)
Тогда
felt r-'Q
Ф lt
(70.22)
Пространственные группы и классическая теория колебаний решетки 183
ЯЛИ
; СМ?)- (70-23)
Здесь
(70.24)
\ хф ) V ф • гх — ср 1 • т (ф))
где снова выписаны явно вклады трансляции на вектор решетки и нетривиальной трансляции.
Как в (70.20), так и в (70.24) ре'шеточные трансляции и нетривиальные трансляции выписаны явно. Следует, однако, отметить, что во вкладах, соответствующих нетривиальной траЦсля-дии в (70.20) и (70.24), может содержаться еще неявно вектор трансляции
гИф = Ф • г* + т (ф)> (70.25)
'Ч^Ф-1 •'V — Ф“‘ ,т(ф)- (70.26)
Любое из этих преобразований даже при т = 0 может преобразовать атом х-го сорта в тождественный атом х-го сорта в другой элементарной ячейке. При этом первоначальное положение атома при добавлении вектора решетки фактически сдвигается, что явно не показано ни в (70.20), ни в (70.24). Несомненно, что векторы
4>-Rl + Hm (70.27)
ф-’-Ял + ф-1-^ (70.28)
являются векторами решетки. Ьднако обозначения (70.20) и
(70.24), вообще говоря, очень удобные, имеют тот недостаток, что в них не видна явно возможность того, что, например, в уравнениях (70.25) и (70.26):
r-Лу = Rn (хф, х') + г к', (70.29)
Гиф = Rn («ф, х") + гх", (70.30)
где Rn (Хф, х') и Rn (хф, х") — векторы решетки. Нам придется вернуться к обсуждению этой возможности в § 80 и последующих параграфах.
Из того, что {ф| /} является операцией симметрии, следует,
что физические свойства в точке тождественны свойствам
в точке / Y Другими словами, в эти?; двух точках находятся V Нф J
184
Глава 8
одинаковые атомы или ионы и, следовательно, физические свойства в них тоже одинаковы.
Наконец, полезно убедиться в унитарности оператора преобразования P[<t\t}. Состояние кристалла при фиксированных смещениях атомов из положений равновесия определено, если задан ЗлЛ^-мерный вектор [и] из (67.11). Норму, или квадрат длины этого вектора, можно определить следующим образом:
[и]2 = Й • [и] SS (и, и) = ? (и„( ЗУ • <70-31)
•я1 а
Очевидно, что
[и]2>0, (70.32)
где знак равенства относится только к нулевым смещениям.
Рассмотрим состояние кристалла, заданное совокупностью смещений [Р{Ф|/>и], компоненты которых заданы в (70.2). Норма этого вектора равна
(Р{ч ( t]U, Р{ч | qff) = (Иф, щ) = Yj ((Л« 1 <1“)а (I)) =
"л1а
(70.33)
При выводе этого соотношения мы использовали (70.12). Для заданного {ср|#} мы можем изменить в (70.33) индексы суммирования:
