Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
М = («‘ ( J “3(^))- (67.12)
Если мы обозначим матрицу с размерами (3rN) X (3rN), эле-
/1 V \
ментами которой являются Фар I / ) из (67.10), через [Ф], то (67.8) можно записать в виде
1
[и] [Ф] [«]•
(67.13)
Такие сокращенные обозначения иногда оказываются полезными.
Пространственные группы и классическая теория колебаний решетки 177
Декартовы компоненты смещений иа О независимы, так что кинетическая энергия колеблющейся решетки равна
Г=4ЕМ»(“«С)Т- (67Л4)
Ыа
где Мк — масса и-го атома в элементарной ячейке. Тогда лагранжиан равен ,
lm
“тЕм“(и)Ф“з(,{ и')Мр(х') (67Л5)
1к а I'H'Si
или в обозначениях (67.13)
<? = ^Й[Л1][й]-4М[Ф][и], (67-16)
где [и] — матрица типа (67.11), элементы которой равны и [М] — диагональная матрица, составленная из масс атомов:
[Л1],,, = (67.17)
ИХ'
а0
В (67.14) — (67.16) точка, как всегда, обозначает полную производную по времени. Выбирая иа ^ ^ ^ в качестве обобщенной
координаты, а йа I I в качестве обобщенной скорости, найдем
уравнения движения из соотношения d д& д2
dt
0. (67.18)
Уравнения движения для динамических переменных будут иметь вид
П\ ^ // (V \
178
¦Глава 8
Уравнение (67.5) показывает, что меняющиеся во времени
динамическими переменными в задаче о колебаниях решетки, можно рассматривать как векторное поле и (г), значение ко-
пиях равновесия атомов. С другой стороны, согласно уравнению
(67.5), каждому вектору смещения соответствует свое несмещен-
ния движения записываются тогда через этот основной набор переменных в форме (67.19).
§ 68. Трансляционная симметрия и смещения атомов
Мы рассмотрим отдельно влияние трансляционной и враща-
В этом параграфе мы изучим только следствия существования трансляционной симметрии W Rl} в решетке.
Оператор преобразования, соответствующий элементу
Отсюда видно, что действие операции трансляции кристалла как целого, характеризуемой вектором на вектор смещения и дает смещение в точке, координата которой сдвинута на /??-. При такой «активной» интерпретации операций симметрии мы сдвигаем поле смещений и держим фиксированными узлы кристаллической решетки. Эти «новые», или сдвинутые, смещения связаны со «старыми», или несдвинутыми, узлами решетки. Если I „
взять (68.1) при г — + Гк, то получим
X
Индекс г. в (68.2) .'"очевидно, является лишним, поэтому вместо (68.2) мы будем обычно писать
независимые
которые являются основными
торого определено только в узлах
положе-
ное положение узла кристаллической решетки
уравне
тельной -симметрии на смещение
и на матрицу (67.7).
обозначим Применим сначала этот оператор к век*
торному полю и (г). Очевидно,
(68.1)
(68.2)
(68.3)
пространственные группы и классическая теория колебаний решетки 179
§ 69. Трансляционная симметрия и матрица силовых постоянных
Используя преобразование смещений (68.3), получаем из (67.8) выражение для потенциальной энергии
к-ф-ф({^ (')})=
<69-»
Ыа
1"Л'Ъ
где из (67.7)
Ф,
(1 11 , 1 ) = Г--------------------=—1. (69.2)
Так как при трансляции все атомы сдвигаются в эквивалентные положения, мы имеем для силовых постоянных
(l-l 1'-1\ (I -1'\
М х х' ]~ФаЧи х')‘ (69,3)
Тензор силовых постоянных, являющийся инвариантным полем тензора второго ранга' должен оставаться неизменным при операциях симметрии решетки. Следовательно, полагая 1= I', получим
(1 — 1' 0 \ / / /' \
Ф“Ч и x'J“0af5U х')’ (69-4)
I V
зависят только
(I I \
Таким образом, силовые постоянные Ф„в I , I
^ \ УС УС J
от разности векторов решетки Rl и Ru и не зависят от индексов отдельных ячеек.
Аналогичный вывод мы можем получить при «пассивной» интерпретации действия преобразований симметрии. Будем считать поле смещений и (г) фиксированным, а узлы решетки будем смещать на вектор решетки Rj-. Тогда узел решетки Rl после смещения будет находиться в узле Rl — Ri> а узел RL, перейдет в Rl,—Rj
Так как изменение потенциальной энергии кристалла должно зависеть только от смещений отдельных атомов, мы снова приходим к выводу, что добавление одного и того же вектора решетки ко всем индексам узлов в каждой силовой постоянной
180
Г лава 8
оставляет ее инвариантной в смысле (69.4). Ниже в некоторых
(I I' \
случаях мы будем пользоваться тем, чтоФар| , I зависит только от разности I — I'. Тогда имеем
Ф“Р ( к v! ) = Ф“Р ( х х') ’ (69,5)
где R\ = Rl — Rl'- Несимметричное обозначение в (69.5) должно подчеркивать, что силовые постоянные зависят только от одного индекса ячейки, а именно от относительного индекса. В других случаях, когда оказывается удобным формальное включение всех совокупностей индексов, они будут сохранены все.
§ 70. Общая симметрия и смещения атомов
Рассмотрим действие оператора преобразования общей пространственной симметрии P{<t\t) на поле смещений и (г). Под действием этого преобразования общей симметрии векторное поле смещений и преобразуется в векторное поле смещений И{ф}, где
И{ф} = Р{ф|/)Ы. (70.1)
Из того, что и является вектором, с неизбежностью следует {P{v | t}tl\а = {«{,}}а — (70.2)
В (70.2) ‘
Фар s (ф)ар (70.3)
есть (аР) -компонента поворотной матрицы <р, описывающей поворот в операции общей пространственной симметрии {ф|0. В последующем изложении удобно использовать следующее обозначение:
