Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бирман Дж. -> "Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1" -> 61

Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.

Бирман Дж. Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 — М.: Мир, 1968. — 388 c.
Скачать (прямая ссылка): prostranstvennayasimmetriya1968.pdf
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 127 >> Следующая

Если свойства собственных векторов классифицированы согласно неприводимым представлениям группы ©, то эти результаты можно сразу применить для вычисления любых функций этих собственных векторов. Такими функциями могут быть решеточные инварианты и коварианты, построенные из этих векторов, например ангармоническая потенциальная энергия кристалла или электрический дипольный момент кристалла более высокого порядка. Используя результаты теории групп, эти функций можно заметно упростить. Для функций, имеющих вид разложения по степеням этих собственных векторов, можно установить существенное минимальное число отличных от нуля независимых коэффициентов. Таково максимальное упрощение, которое можно получить с помощью теории групп.
Еще одна важная классическая функция собственных векторов, которую можно в известной мере определить с помощью теории групп, — это функция Грина, используемая при анализе свойств как идеальных, так и неидеальных решеток [8, 9, 66, 67].
При анализе свойств симметрии в задаче на собственные значения классической динамики решетки мы встретимся с оператором преобразования обращения времени. Для учета этого one-
174
Глава 8
ратора необходимо расширить группу симметрии физической системы по отношению к исходной группе операторов преобразований, которая изоморфна исходной пространственной группе ©. Соответственно изменится и весь предшествующий анализ. Может возникнуть удвоение существенного вырождения, обусловленное дополнительной симметрией; могут также измениться коэффициенты йриведения и, следовательно, правила отбора. Необходимая здесь теория копредставлений изложена в гл. 9.
Наконец, нужно подчеркнуть, что значительная часть результатов гл. 8 применима и в отсутствие ограничивающего предположения о применимости гармонического приближения. Такое обобщение до некоторой возможной в настоящее время степени будет обсуждаться при изложении общей динамики решетки и теории многих тел.
§ 67. Уравнения движения в гармоническом приближении
Рассмотрим кристалл, в котором покоящиеся атомы расположены в точках с координатами
rl« = *L + r„ (67.1)
где, как и прежде (см. § 4), вектор решетки равен
RL=l{ay-\- 12а2 + /3а3, h — целые числа, (67.2)
и базисные векторы имеют вид
r„ = xia, + х2а2 -Ь и3а3, 0 < < 1. (67.3)
Можно считать, чтЪ вектор Rl определяет положение элементарной ячейки, в которой расположен данный атом, а г„ дает положение этого атома внутри элементарной ячейки./ Еще одно употребляемое обозначение для (67.1)
r.Q). (67.4,
где индексы /, к имеют то же значение, что и в (67.1), а а — 1, 2,3 обозначает декартовы координаты; индексы (1, 2, 3) можно также заменить на (х, у, г).
Обозначим смещения атомов, первоначально покоившихся в
точках из их положений равновесия через
Тогда мгновенное положение каждого атома можно записать
так:
'С)+“С)“рО'
(67.6)
Пространственные группы и классическая теория колебаний решетки 175
Смещения и
следует считать меняющимися во вре-
мени независимыми величинами, являющимися основными динамическими переменными в нашей задаче.
Потенциальная энергия кристалла является функцией общего
Обычное классическое рассмотрение основано на предположении
жения равновесия соответствуют устойчивому равновесию. Тогда первые два отличных от нуля члена в разложении Ф по отклонениям от положений равновесия имеют вид
Первый член в (67.6) определяет начало отсчета потенциальной энергии решетки и соответствует значению Ф, взятому при усло-
величина является константой. Обобщенные силовые постоянные динамики кристаллической решетки в гармоническом приближении определяются выражениями (67.7). Очевидно, в ряде
(67.6) можно учесть следующие члены разложения и получить ангармонический вклад в потенциальную энергию кристалла. Ниже мы приведем некоторые результаты, основанные на учете, ангармонических членов, но сейчас мы ими пренебрежем. Так как конфигурация атомов, соответствующая началу отсчета энергии, является устойчивой равновесной конфигурацией, величина
вида от мгновенных положений атомов
Назовем ее Ф.
о том, что величина
мала, а исходные поло
Ф = Ф
где
вии равенства мгновенных координат частиц
коорди-
176
Глава 8
должна быть положительной, если имеется хотя бы одно отлич-
(1\ (1\
ное от нуля значение иа\ J, и равна нулю, если все иа\ I
тождественно равны нулю. Таким образом, (?7.8) является не-
отрицательной квадратичной формой:
У>0. (67.9)
Так как порядок дифференцирования в (67.7), очевидно, несуществен, силовые постоянные удовлетворяют соотношению
?)=%¦(*')• <57-10>
Определим матрицу-столбец, имеющую 3rN строк, элемен-
11 “»(*)•
тами которой являются независимые векторы смещении
Здесь N — число элементарных ячеек в кристалле, удовлетворяющем граничным условиям Борна — Кармана, г — число ионов (атомов) в элементарной ячейке, так что 3rN— полное число механических степеней свободы колеблющегося кристалла. Обозначим такую матрицу-столбец через [и]:
[и] =
-С)
«3
СО
(67.11)
Транспонированной по отношению к ней будет матрица-строка [и]:
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 127 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed