Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Недостаток метода состоит в том, что приходится строить заранее полные таблицы характеров, а также в том, что для получения коэффициентов приведения необходимо произвести полное разложение. К достоинствам метода можно отнести возможность проверки результата (т. е. полного набора коэффициентов), используя стандартные соотношения ортонормирован-ности, полученные в § 48 и 49.
В противоположность этому при расчетах методом подгруппы следует построить величины, входящие в выражение (62.15). Это те же характеры с точкой, которые возникают в таблице для полной группы, однако в принципе не все они входят в (62.15). Только сопряженные элементы {фр''-”0} [см. (62.16)] группы ®(k) имеют характеры, отличные от нуля, и входят в (62.15). Их, разумеется, меньше, чем элементов в группе ®. Поэтому в
(63.2) суммирование ведется по меньшему числу элементов.
В методе подгруппы основное внимание сосредоточено на
выбранном векторе k" и рассматриваются только соответствующие ему множители и коэффициенты. Следовательно, в сумму
(63.2) входит меньшее число элементов, чем в (55.2). В этом смысле метод подгруппы оказывается более экономичным, чем метод полной группы. Естественно, если метод подгруппы используется для получения всех неприводимых представлений
?>(**") (т")> возникающих при вычислении прямого произведения
(h \ (т) — ( *'Л (т')
всех пар и 0' , то объем вычислении и конечные
результаты оказываются теми же, что и для метода полной группы.
При сравнении структуры выражений (63.2) и (55.5) немедленно выявляется более серьезное затруднение^ возникающее
Коэффициенты приведения. Метод подгруппы 169
только в методе подгруппы. Для метода подгруппы совершенно необходимо, чтобы, например,, в слагаемых суммы (63.2) были использованы правильные части полных представлений. Однако вследствие сложности структуры представлений выделение правильных частей, которые будут затем использованы для получения «полной» системы характеров, показанной в (63.2), совсем не тривиально. Иначе говоря, неприводимое представление ?>(*ft)(m) группы @, согласно (33.1), содержит блок с индексами сг = 1, т = 1, равный <т))п — /)(6)(т), и соответствующий
допустимым неприводимым представлениям группы ®(k), где k — канонический волновой вектор звезды *k. Если рассматривать то же представление по отношению к вектору ka (другому лучу той же звезды), то структура этого представления становится сложной ввиду необходимости преобразования элементов симметрии, входящих в матрицы вида (36.14) в качестве аргументов. В принципе выполнение таких вычислений в методе подгруппы не вызывает затруднений, но на практике важно использовать правильные элементы и правильную форму матриц.
Методы полной группы и подгруппы можно сопоставить другим способом, сравнивая соответствующие векторные пространства. Метод полной группы использует полные неэквивалентные неприводимые векторные пространства и их произведения, например
2(**) (m) (g 2(*Л') (тО. (64.1)
Полное пространство произведения (64.1) разлагается на прямую сумму полных неприводимых векторных пространств, т. е.
(m) ® 2(**') <m'> = Z ® (*km'k'm' | *ft"m") <m">. (64.2)
*ft"m"
В методе подгруппы рассматриваются только те подпространства, произведение которых дает требуемое подпространство. Иначе, используя прежние обозначения,
1 у =
(Ч"ка)
= ? ({К -f k'a,} тт' | k"m") (т">. (64.3)
щ"
Предположим теперь, что при конкретном применении метода малой группы ошибочно пропущены некоторые из произведений [в левой части (64.3)], которые приводили бы к полному прёдставлению (подпространству) Эта ошибка
может остаться незамеченной, так как единственный имеющийся для этого метода способ проверки полноты заключается в том,
170
Глцва 7
что представления произведений, входящие в левую часть равенства (64.3), должны также возникать и в правой части
(64.3). Разумеется, если бы все вычисления выполнялись безошибочно, об этом не стоило бы.и упоминать. В методе полной группы сделать такую ошибку, т. е. пропустить часть векторных пространств, абсолютно невозможно. На каждой стадии вычислений соотношения полноты и ортонормированности для полных неприводимых представлений одной и той же группы © обеспечивают проверку правильности построения таблицы характеров и правильности разложенияГ Дело обстоит таким же образом, как и для широко известных конечных групп.
Наконец, можно сравнить методы полной группы и подгруппы, демонстрируя очевидную связь между совокупностью коэффициентов приведения для подгруппы и коэффициентами приведения для полной группы. Ясно, что при фиксированных *k"m" коэффициенты (*km*k'm'\*k"m") показывают, сколько раз представление D (т") входит в разложение. Однако если в разложении содержится полное представление, то столько же раз входит и представление (т"' подгруппы ®(k"). Поэтому коэффициент для подгруппы, связывающий все возможные представления ?)(*а)(т) и ?)(ка') ^т К которые могут дать для выбранного k" все результирующие представления ?>{к") [т\ должен быть равен соответствующему коэффициенту для полной группы. Таким образом, истолковывая каждый из коэффициентов соответствующим образом (как коэффициент приведения для подгруппы или для полной группы), можно записать
