Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
= D<*> 01 ({.(:„ | Т„)-' (.|, | Т,) ('!„ | TJ (<,)-' | Т„|)м. (60.15)
Но так как (f1.k=ka, элемент {ф2|т2} должен принадлежать смежному классу, определяемому элементом ст в разбиении группы © по подгруппе © (ft), так что можно записать {ф2|т2} = = Кг | ха) {ф* | *к}> гДе {ф*К}е®(*)- Тогда соотношение (60.15) принимает вид
l{9,1 гх})ааай = D(k)«({фА | tk) {Фу I гу} {фА| tk)-\a =
- №к) (,) ({ф&Ш) DM (0 ({ф, I т,}) д<*> (0 ({ф* 11,})-%. (60.16)
Коэффициенты приведения. Метод полной группы 159
Но для представлений пространственной группы выполняется соотношение
СО «>({», |«,}-') - (D« <»({,,, [= О» »> ({f, |
(60.17)
Поэтому, так как соответствующий множитель из системы факторов coftfe_i=l, для пространственных групп можно написать
?(**) (0 ({Фх | тх})ааоа = DW «({Ф, | ху))ай, (60.18)
где D(k) (/) — трансформированное представление ?)<*>(/).
Используя эту же процедуру для представлений /)(**')(/')({фх| | тх}) и ?)(**")<r) ({q>x | хх}), перепишем соотношение (60.11) в виде
а"а" = (,) ({ф„ I Т,})ва X
У
X DM «'> ({фу | Ту})а,й, DW (П. ({фу | ху})а„а„. (60.19)
Таким образом, мы получили уравнение для блока коэффициентов с индексами (1,П) Для трансформированных представлений Dw <г), (П и D''h") <Г). Эти коэффициенты связаны с блоком коэффициентов для /)<*') <г') и ?)<*">('"> соотношением
(18.29) из гл. 18:
^v, - ,2 [о<*>10 ({», I У) ® '»(К I tt, X
(60.20)
или
цоо'о" в ^ (О ({фА J h}) 0 D<*'> 0) ({q)ft, | М) «"> ({ф^! Я)-гг
(60.21)
причем элементы {фй|^}, {фй- | tk,j и {flV|V} Должны удовлетворять соотношениям
{Фх I TS> = {«Pa | Ta> {ф* |
{ф 2 | Те} ~ {фо" | То'} {фй* I **"}•
160
Глава 6
Подводя итоги, мы видим, что полный набор коэффициентов 'Клебша — Гордана для пространственной группы определяется с помощью соотношения (60.10) для блока с индексами (111) и с помощью соотношения (60.21) для остальных блоков, причем элементы [ tkj, {q>k, | tk,j и j tk„j определяются соотношениями (60.13) и (60.22). Отметим, что в этом методе не требуется знания представлений /)(**) <*) всей пространственной группы. Достаточно знать представления групп ®{k), ®(k') и ®(k"). Следовательно, эта процедура получения коэффициентов Клебша — Гордана близка к методам подгруппы, описанным ниже в § 61—65. Можно рекомендовать читателю вновь обратиться к материалу этого параграфа после прочтения § 65.
ГЛАВА 7
Коэффициенты приведения для х пространственных групп. Метод подгруппы
§ 61. Введение
Теперь мы рассмотрим другой возможный, более традиционный метод получения коэффициентов приведения для пространственных групп. Этот метод называется методом подгруппы.
Основное различие между методом полнбй группы и методом подгруппы касается той наиболее существенной части преобразований, которая необходима для нахождения коэффициентов приведения. В методе полной группы, обсуждаемом в § 52—60, рассматривается полная пространственная группа © и ее неприводимые представления D((т). Эти представления и используются для нахождения соответствующих коэффициентов приведения. Метод подгруппы сводится, насколько это возможно, к изучению только одной подгруппы ®(k) и ее допустимых неприводимых представлений ?(*)("»). Поскольку представления ?)(**) (т) можно найти методом индукции из представлений Z)(ft)(m), оба метода должны приводить, если они используются правильно, к эквивалентным результатам.
В последующих параграфах мы детально исследуем метод подгруппы и сравниваем его затем с методом полной группы.
§ 62. Полная система характеров подгруппы
Метод подгруппы основан на рассмотрении определенной звезды *k", возникающей в результате разложения, и, более того, на рассмотрении отдельного волнового вектора звезды *k". Пусть звезда *k" задана каноническим вектором к". Спрашивается: какое значение т" возникает при выполнении приведения для данного к", если заданы соответствующие части двух представлений ?>(**) ("О и ?)(**')(«'), являющихся сомножителями? Чтобы проанализировать этот вопрос, требуется привести все рассмотрение предыдущих параграфов к форме, в которой основную роль будут играть отдельные подгруппы группы @ и отдельные блочные матрицы, а также характеры и отдельные векторные подпространства.
Итак, рассмотрим представление <т). Поскольку при получении правил отбора мы ограничимся рассмотрением характеров, нам требуется рассмотреть для этого представления
162
Глава ?
только диагональные блочные матрицы. Заметим, что для данного произвольного элемента {<pP|fP} группы ® диагональные блочные матрицы совпадают с матрицами с точкой:
D<"> ({Фр | tp})aa = i)W о») ({Фа | fe}“‘ {Фр | /„} {Фа | ta}). (62.1)
Таким образом, матрица ({фр 1*р}) «принадлежит» тем
строкам и столбцам, которым соответствует блоховская. функция с волновым вектором ft, тогда как матрица ({фа Uo}~*
{ф/> I */>НФо IА}) «принадлежит» строкам и столбцам, которым соответствует блоховская функция с волновым вектором ka. Это утверждение относится к полным представлениям /)(**') <т'> И ?)( *") <т"). Аналогично можно считать, что любой член (карак-тер) в (37.3) относится к определенному волновому вектору. Таким способом можно рассматривать различные формы заданного неприводимого представления ?>(**) (“> и то, как оно «проектируется»-на подпространства разных волновых векторов, принадлежащих звезде *ft.
