Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
В этом параграфе мы будем следовать работам Ицткана [51] и Беренсон [52, 53]. Аналогичное обсуждение содержится в работах Литвина и Зака [54], Саулевича, Свиридова и Смирнова [55, 56], Сакаты [57] и Корнвела [58].
а. Определение коэффициентов Клебша — Гордана для пространственной группы. Коэффициенты Клебша — Гордана для пространственной группы определяются по аналогии с их определением в (18.4) и (18.5) для произвольной конечной группы. Нам потребуется конкретный вид матриц представлений, которые мы выпишем, следуя (36.18). В частности, для элемента D0ixb(*b) (О имеем
Я(*4) (г> ({Ф i t})aaxb = ({фо | Та}-’ {ф 11} {фт | тх})аЬ, (60.1)
где — неприводимое представление группы ©(ft), а {Фа| та}
и {фг1тг} — представители смежных классов в разложении группы © по подгруппе ©(ft); напомним, что определение матрицы с точкой дано в (36.4). Прямое произведение представлений можно записать в виде
<г> = Е © Ckfk'l' | *k"l") <г>. (60.2)
Ь»1"
Коэффициенты Клебша — Гордана определяются соотношением
ft I ft' Г k" /" у а а а' а' ст" а"
«')''. (60.3)
Удобно ввести обозначение
ft I ft' V k" I" y
156
Глава 6
Воспроизводя вывод коэффициентов Клебша — Гордана для конечных групп в § 18, получим следующее уравнение, аналогичное (18.23):
У*, Uhaa'a', а"а"^айа'а', а” а” ,
V
=т 2 в(*') «»-1'<»«.» ri (fa-1 х
(60.4)
g
X
где — размерность представления
?(**") (П
a g — порядок
пространственной группы. -
Согласно (6.33), пространственную группу можно разбить
на смежные классы по инвариантной подгруппе трансляций ?:
© = s-f ЫI т2} г + \.. + {tpA | xh) Z. (60.5)
Поэтому произвольный элемент {ф|#} можно записать в виде
произведения представителя смежного класса {гр | т} на чистую трансляцию {е 1/?^}, так что f
D<**> «’ I ” X DC‘) <0 ({<p, I »,})„„ ?>(**>¦¦» ({e KL})m, -
= D<**) (V ({{px I т*})аар6'6рв6&а exp — ike • RL =
= exp - iks • <»({cp, | xx})aaea. (60.6)
Следовательно, соотношение (60.4) можно переписать в виде
У*, Uaaa'a', а”а"^'баа'а', в"а" ==
V
= 7 Z 'е_г (‘а+*“4гм ^ Е D(*A) (г) I х
X
X /)<**> ^ «Ф* I rx})a,a,3,s, («•) ({Ф * I T*})aW,.„. (60.7)
Используем теперь соотношения (49.12), (49.13), согласно которым
^ exp — /ft • Rl = ЛГЛ (й), ^ (60.8а)
где
f 1 при k*s=2nBH,
A(ft) = J Л Н Я (60.86)
(. 0 в других случаях, а N — порядок группы I.
Коэффициенты приведения. Метод полной группы
157
Следовательно, коэффициенты Клебша — Гордана равны нулю, за исключением случая, когда
~Ь kg’ — ka» = 2JlBff. (60.8в)
Если соотношение (60.8в) выполнено, то
Z//Y пУ* ,
Vaao'a', a"a"v дао а, да"—
V
=X Е °(**’“ 1 т'»«и D<V)п 1 'JU X
X
XD<*k"Un ({ФJ (60.9)
б. Вычисление блока коэффициентов с индексами (111).
Так как выбор канонических векторов ki = k, k\ — k', k'{ =k" каждой звезды произволен, удобно сч 1тать, что k, -f- k\ — k'{ =
— 2лВн. Тогда имеем а = д = <т’ = а' = а" = а" = 1. Соотно шение (60.9) принимает вид
Ulala’, 1<Г = X J] ?>{*й) <'> ({ф, I Гх))Шй X
X
X ?>(V) ({ф, I T*})le,lfl, * ({ф, | т,})1а„1а„ =
= х S ^(Й) (0 ({<f*1 ^(А0 (Г> ({<р* 1 T*>w х
(г")*({фх|тх»а„.„ (60.10)
где суммирование по д: ведется по элементам, входящим одновременно в группы ®(k), ®(k') и ®(k"). Точки над матрицами обеспечивают это ограничение.
Для простоты обозначений соотношение (60.10) записано для случая кратности, равной единице. Аналогично можно также проанализировать случай большей кратности [51,52], однако этого анализа мы здесь не приводим. Назовем коэффициенты Клебша — Гордана, определенные соотношением (60.10), блоком коэффициентов с индексами (111). Их можно получить тем же методом, что и в § 18 [см. (18.15) и далее]. При этом следует выбрать некоторые а = а = а0, а' = а' — a'Q и а" = а" = а" такие, чтобы правая часть соотношения (60.10) была отлична от нуля. Затем следует фиксировать фазу величин UlaQ la' I(Jw, считая их. действительными, положить а= а0, а =а'0 и а" = а% и рассмотреть все.возможные значения величин а, а' а". Если
(klk'l' | k"l") > 1,
158
Глава 6
то следует повторять эту процедуру до тех пор, пока не будет найден блок коэффициентов с индексами (111).
в. Вычисление блока коэффициентов с индексами (о, a', v").
Чтобы вычислить коэффициенты Клебша — Гордана блока с индексами (ст, ст', ст"), поступим следующим образом. Выберем некоторый ОТЛИЧНЫЙ ОТ нуля элемент f/aacr'a', а" а" и обозначим его через U'. Тогда имеем
UnUaa. а'а', а»а» = 4г 2 ^ W I Х^оааа X х
X /><**'> (П ({Ф* I тх})а,а,о>й, /)(**") (П* ({фЛ I Хх))т,^ (60.11)
где суммирование по X выполняется по элементам, входящим одновременно в группы ©(ft0), ®(k'a') и ©(ftg"), т. е.
?А = *в. ?Л = ^ (60.12)
где знаком = обозначается равенство с точностью до слагаемого, равного 2яВн.
Рассмотрим теперь элемент ф2, переводящий блок с индексами (111) в блок с индексами (стст'ст"), т. е.
Ф2*=*а, ф2*'=*;„ ф2*"=*". (60.13)
Тогда
Фг’ФЛ*'^*'- Фх1(РЛФх*"=*" (60.14)
Следовательно, элемент ф^'ф/Ре принадлежит одновременно группам ©(Л), ©(ft') и ©(ft"). Пусть фу = ФЁ’фЛ или
Ф* = Ф^ФуЧх'• Тогда
D(**' «ф, I MU = 0<**>‘'’(К1 т1} |д„} {Фг I т2}-‘)ома ...
