Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Метод группы приведения иллюстрируется в § 132, где получаются коэффициенты приведения для произведений представлений высокой симметрии пространственной группы алмаза.
§ 59. Определение коэффициентов приведения.
Использование базисных функций
Применяя метод полной группы и используя полный набор базисных функций для одной звезды, можно частично определить коэффициенты приведения для представлений, соответствующих этой звезде. Иначе говоря, предположим теперь, что мы определим для рассматриваемого произведения, которое
Коэффициенты приведения. Метод полной группы
153
следует разложить, все коэффициенты приведения для волновых векторов (или для звезд). Имея эти коэффициенты, можно рассмотреть разложение соответствующих пространств. Ясно, что разложение пространства произведения записывается через коэффициенты приведения (*km*k'm' | *k"m") для полной группы в виде
?(**)(m) g) ?(**') (то _ ? (59.1)
*k"m"
Используя теперь соотношение для размерности представлений, выражаемые в (57.3) правилами отбора для волновых векторов, можно считать известной полную размерность всех представлений, соответствующих звезде *k"\ они возникают при разложении произведения вида
?)(**) (т)ф ?)(**') (т').
Предположим, что у нас имеется полный набор функций из
(59.1). Выберем из этого набора все парные произведения, для которых
ka + k'y = С, (59.2)
где ft0"— любой из векторов звезды *k". Таким способом мы формально соберем весь возникающий набор функций, образующий все пространства {">")}, соответствующие звезде *k"
и всем пг".
Если применить к этому набору собственных функций все операции поворотной симметрии (представители смежных классов группы ©/?), то мы получим полное приводимое представление для этой звезды. Другими словами, рассмотрим пространство, образуемое набором функций, выбранных из следующим образом:
== {^*o) (т\},К')(т,)}, (59.3)
&а Н“ Ь& Ct = 11 ••• 9 1щ* ^ == 1 > • • • > 1тпг*
Тогда
/>{, | * ({q> | # (q>)>) St**"). ¦_ (59.4)
Но в общем случае (если в сумму в (59.4) входит больше од- ’ ного значения пг") матрица ?({<р|*(<р)}) приводима. Чтобы выполнить приведение, следует вычислить след матрицы
Sp?>({q>|f(<p)» = x({<pl*(<p)». (59.5)
Тогда, имея систему приводимых характеров (59.5), а также систему характеров х(**"НтЛ,> для допустимых неприводимых
154
Глава 6
представлений звезды *k", можно выполнить разложение приводимой системы характеров (59.5) и определить коэффициенты (*km*k'm'\*k"m"). В этом случае можно'также использовать метод линейных алгебраических уравнений (§ 57) и метод группы приведения (§ 58).
Полностью эквивалентный метод определения возникающих значений т" можно сформулировать с помощью идемпотент-ных операторов проектирования, связанных с неприводимыми представлениями ?)(**") Если характеры известны, то операторы проектирования для характеров [т. е. слабые операторы проектирования ри\ определенные в (16.5)] можно найти по формулам
= 1 ? х(*»-> („') I ,„})• p{v, у. (59.6)
При применении этого оператора с заданным т" к, функции
(59.3) получается либо нуль, если т" не содержится в (59.3), либо правильная функция. Следует отметить, что полученный таким способом набор функций относится ко всему неприводимому представлению ?)(**)(т) пространственной группы, а не к отдельной строке.
Очевидно, базисные функции и операторы проектирования желательно использовать в случаях, когда требуются точные выражения для функций, образующих пространство ("»").
Как правило, частичный (неполный) характер приведения, получаемый этим методом, делает его полезным либо для специальных случаев, либо для проверки результатов, полученных другими методами. Этот метод весьма трудоемок, так как приходится определять отдельно системы характеров последовательно для всех допустимых компонентов звезды *k", которые могут возникнуть при приведении. Затем для каждой компоненты отдельно выполняется приведение. В противоположность этому остальные методы дают все коэффициенты приведения сразу, а не поочередно. Далее мы отметим, что такое же замечание следует сделать в отношении методов подгруппы.
§ 60. Теория коэффициентов Клебша — Гордана для пространственных групп ’)
Как было отмечено в § 18, нахождение коэффициентов приведения составляет только часть задачи о разложении прямого произведения двух неприводимых представлений. Заключитель-
‘) Значительная часть этого параграфа написана Р. Беренсрн; см. § 18 и 134. '
Коэффициенты приведения. Метод полной группы
155
\
ный этап состоит в нахождении коэффициентов Клебша — Гордана.
Несмотря на то что кристаллические пространственные группы известны уже в течение более 80 лет [13—15], задача о нахождении коэффициентов приведения и коэффициентов Клебша— Гордана была поставлена' сравнительно недавно. В этом параграфе мы изложим некоторые из последних результатов в этой области. Поскольку следует ожидать, что работа в области теории, расчетов и приложений коэффициентов Клебша — Гордана для пространственных групп будет в ближайшем будущем быстро развиваться, читателю рекомендуется ознакомиться с современной научной литературой по этому вопросу. Рассмотрение в § 134 посвящено вычислению некоторых из этих коэффициентов для структуры алмаза.
