Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
{еЮ}......{гЦп.}, {Ф2[ 0}......{ф*р|#л/}. (58.6)
Если рассматривать неприводимое представление (т) группы ©, то набор из gptij представителей смежных классов образует совокупность «независимых» элементов группы @.
Совокупность элементов (58.6) мы обозначим через SR(ft) и назовем «группой приведения для вектора ft». Очевидно, представление является лишь гомоморфным отображением
группы ©, но часто представляет собой изоморфное отображение группы 31 (ft). Так, набор матриц ?)(**)(«) (Z), где Z — элемент группы SR(ft), образует матричную группу, замкнутую относительно матричного умножения. Далее, набор L)(*(m) (Z) задает матричное представление для совокупности абстрактных элементов SR(ft), определенной в (58.6). Поэтому соотношение
I | %<*а) (m> (Z) |2 = gpN, (58.7)
Ze®
в котором суммирование производится по всем элементам группы ©, можно привести к более простому виду
Е |х(**)(т>(2)Г = № (58.8)
ZsS i(*)
Соотношение (58.8) представляет собой соотношение полноты, следующее из свойства матриц рассматриваемых в ка-
честве неприводимого представления группы @.
Точно таким же образом можно теперь определить ядро представления ?)(**') (т'ь обозначим его через $'(**') («'). Можно так же рассмотреть и группу SR(ft'). Трансляции, входящие в группу SR(ft'), могут либо совпадать, либо не совпадать с трансляциями из группы SH(&). Можно, наконец, построить группу SR(ft"), соответствующую неприводимому представлению ?)(**") (т")^ В таком случае мы получим три отдельные группы матриц, каждая из которых задает представление совокупности абстрактных элементов 81 (ft), SH(ft') или 8t (ft"). Эти матричные группы несут существенную (не избыточную) информацию о
Коэффициенты приведения. Метод полной группы
151
ПОЛНЫХ матричных группах ?)(**') (m') и ?)(**") (m")_ Пер-
вые две группы (т) и D^*k'^(m'' входят сомножителями в произведение, которое следует разложить, а третья представляет собой представление, наличие которого (т. е. т”) в произведении требуется установить, если мы знаем,что звезда ^"действительно входит в произведение (это определяется соответствующим коэффицинтом приведения для волнового вектора).
Образуем теперь из трех групп 9J (ft), 9J {k') и Я (ft") одну группу 9J следующим образом. Расширим каждую из этих трех совокупностей абстрактных элементов, добавляя элементы из их собственного центра. Таким способом мы найдем общую группу 9J наименьшего порядка. Если, например, ядром представления
'к")(т") является $"(**") (т"1, а элементами группы $"(**") <т"> являются элементы Y" (так что 2/9^"} содержит п) представителей смежных классов) и njr, > njt, njn > njt то в ряде случаев можно определить общую группу 9J, как совокупность абстрактных элементов из
©/%'} = (©/%}) (ЗДП(п), (58-9)
а также из
©/%") = (©/%'})(%'}/%"})• (58.10)
Может оказаться, что элементы группы 9V)/9V") входят в центр группы а элементы группы SV'j/^V") — в центр группы
д(*й')(т'), в таком случае можно немедленно выполнить приведение.
Определив группу 9J, мы получим общую группу приведения. Точнее говоря, это группа абстрактных элементов, каждому из которых соответствует матричное представление из представлений-сомножителей /)(**)<"»> и или из представления-
произведения ?)(**") (m"i_ Вследствие их неприводимости имеем для каждого представления соотношение для характеров
Z | (т) (Z) |2 = gti,,, — порядок группы 9?, (58.11)
ZeSR ^ '
а также
Z %{*k){т) (Z) м (ZT = bkkAmm,gpnr. (58.12)
При этом соотношение ортогональности и нормировки (58.12) применимо в рассматриваемом случае к любой ^паро из трех звезд *k, *k' и *k" с соответствующими индексами т, т', т"\ Z — произвольный элемент группы Теперь, используя соотношение ортонормированности (58.12), можно завершить процесс приведения, рассматривая соотношение, эквиралентное (55.5).
152
Глава в
Таким образом, имеем
= —— У х(*4) (т) (Z) • X<V) <m'> (Z) • (Z)*. (58.13)
g tl:r, Z—/ v '
Соотношение (58.13) заканчивает приведение. Определив группу приведения SH, общую для трех рассматриваемых матричных групп, мы приводим суммирование в (55.5) к такой форме, чтобы его можно было выполнить точно.
Достоинство этого метода, использующего группу приведения, состоит в прямом вычислении интересующих нас коэффициентов приведения без использования метода проб и ошибок.
Если элементы групп 9V}/9V"} и 9V'}/9V"}не входят в центры соответствующих представлений, то необходимая при этом модификация метода в принципе проста. Каждая из трех исходных групп ®/'Л{г}, ©/9V'} и ®/3R{у") дополняется элементами до тех пор, пока не образуется общая группа приведения SH. Далее можно использовать и в этом случае соотношение (58.13) и тем самым выполнить приведение.
Подводя итог, можно сказать, что метод приведения представляет собой строгую процедуру, в которой для выполнения суммирования в (55.6) используется гомоморфизм группы D(*k)
по отношению к полной пространственной группе а также гомоморфизм остальных представлений, входящих в соотношение приведения Достоинство этого метода (в случаях, когда возможно его применение) состоит в том, что он допускает проверку коэффициентов с помощью соотношения ортонормиро-ванности. Как и в случае более простого метода малой группы, состоящего в определении неприводимых представлений группы ®(ft) по неприводимым представлениям группы П (fe), оказывается, что метод группы приведения полезен в случае звезд высокой симметрии, т. е. канонических волновых векторов высокой симметрии.
