Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
145
В таком случае можно записать
[1т*Ь]2 = ? ® ([ln*k]21 *k") *k". (56.14)
*t"
б. Коэффициенты приведения для звезды в случае симмет-ризованнога произведения представлений. Обратимся теперь к рассмотрению коэффициентов приведения для волнового вектора при нахождении симметризованного произведения представлений. В этом случае необходимо заранее включить в аргумент размерность /т; т. е., если векторное пространство <т) имеет размерность lm > 1, то при перечислении каждый волновой вектор звезды должен возникать lm раз, или, другими словами, каждая звезда должна возникать lm раз. Рассмотрим сначала случай lm= 1. Тогда набор волновых векторов, образующих пространство симметризованного квадрата представления, можно записать в виде
ka + kx, ст<т= 1, ..s. (56.15)
Перепишем (56.15) в виде, соответствующем таблице, которая обсуждалась при выводе (56.7) — (56.9). Тогда получим ^
*0 + К = Ч>0 (*¦+ Фо СГ < Т = 1, . . ., S. (56.16)
Ясно, что если в (56.16) а = х, то получаются элементы звезды *(2k), где 2k?E=k-\-k. Таким образом, запишем
*k<g)*k= *(2k) ® {ka + kx), офх. (56.17)
Однако в наборе векторов {ka-\-kx}, возникающих в (56.17), ввиду отсутствия ограничений на неравенство в (56.17) данная комбинация ka-\-kx встречается дважды. Напротив, в (56.15) выполняется неравенство ст < т. Поэтому
{К + *т} При Офх,
= 2 (ka + kx) при ст < т.
Обозначая через
симметризованный квадрат звезды *k, представляющий собой набор векторов (56.15), очевидным образом имеем
2[*й](2) = *й®**®*(2й)( (56.20)
или
Г%) = у[**®**Ф*(2*)]. (56.21)
(56.18)
(56.19)
146
Глава 6
Повторяя теперь эти рассуждения для общего случая im > 1, мы просто сгруппируем в таблице соответствующие волновые векторы и получим следующий результат:
[/«**1(2) = J \fin (56.22)
частным случаем которого при /т = 1, очевидно, является
(56.21). Коэффициенты приведения, соотве^твующие соотношению (56.22), можно записать в виде
([/«**]< 2)1**"). (56.23)
Аналогичным образом можно получить симметризованную третью степень звезды в виде
[1т* к] (3) = -g- {fm*k ® ** ® ** 0 З/m** ® *2k © 2/m*(3*)}. (56.24)
Соответствующие коэффициенты приведения обозначим
( [/т**](3)1 *")• .(56.25)
Роль коэффициентов приведения для волновых векторов и правил отбора для волновых векторов состоит в том, что они выделяют только те звезды, которые возникают при нахождении прямого произведения представлений. Другими словами, при разложении произведения Z)(**)(m) ® D^*4'"1') следует лишь найти члены д(*')(т>) для которых выполняется соответствующее правило отбора. Необходимым, но не достаточным условием присутствия представления ?>(**") (т"> в произведении является неравенство
(*k*k' | *к")Ф 0. (56.26)
Аналогичные условия можно выписать для обычных и симмёт-ризованных степеней данного представления. Разумеется, присутствие данной звезды *k" является необходимым, но не доста--точным условием появления в разложении определенного т".
Коэффициенты приведения для волнового вектора, или коэффициенты приведения для звезд, аналогичны коэффициентам приведения для рядов Клебша — Гордана. Действительно, ряд
(56.3) представляет собой аналог ряда Клебша — Гордана для непрерывной группы поворотов применительно к дискретным конечным группам.
§ 57. Определение коэффициентов приведения.
Метод линейных алгебраических уравнений
Полные коэффициенты приведения для произведений: неприводимых представлений пространственных групп определены в
(55.1), и теперь можно обратиться к этому уравнению, чтобы
Коэффициенты приведения. Метод полной группы
147
завершить их определение. Ясно, что соотношения (55.7) и
(55.9) имеют одинаковую структуру, и поэтому при их рассмотрении можно использовать одинаковые методы.
Будем считать, что сомножители ?)(**) <т> и ?)(**') в (55.1) заданы. Предполагается, что определены соответствующие коэффициенты приведения для звезд из (56.3). Тогда для каждой звезды *k", такой, что
(*k*k' | *k") Ф 0, (57.1)
действительно возникают представления ?)(**") <т">.
Предположим, чтЪ для этой звезды имеется rk„ допустимых неприводимых представлений, каждое с размерностью Ivm”-Тогда, если, как и прежде, число лучей в звезде *k" равно s", то полная размерность возникающего неприводимого представления со звездой *k" равна
(*k*k'\*k")s". (57.2)
Кроме того, из условия сохранения размерности следует, что
коэффициенты (*km*k'm'\*k"m") должны удовлетворять соотношению
Гк"
? (*km*k'm' \ *k"m") h-m- = s" (****' \ *k"). (57.3)
m"=1
Далее, если число различных (т.- е. неэквивалентных) звезд входящих в коэффициенты (*&*&'|*&"), равно I", то число различных коэффициентов, которые следует определить, равно
I"
? г а". (57.4)
*"=i
Поэтому уравнения (55.4) принимают вид
%(**)(т) ({фР 11 (фр}) (m,) ({фр 11 (фр)}) =
=?= ? (*km*k'm' | *k"m") (m'° ({Фр 11 (фр)}). (57.5)
* k"m"
Уравнения (57.5) представляют собой линейные алгебраические уравнения, в которых неизвестны только коэффициенты приведения. Иначе говоря, для каждого элемента пространственной группы © известны все характеры, входящие в (57.5). Хотя в пространственной группе имеется gpN элементов, число неизвестных коэффициентов приведения (57.4) намного меньше.
